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| Aufgabe | löse folgendes Integral:
[mm] \limes_{T \to \infty} [/mm] * [mm] \frac{1}{2T} [/mm] * [mm] \int_{-T}^{T} cos^2(a-wt) [/mm] dt |
Wie kann man schnell das Ergenis des Integrals sehen! Nicht erst durch Integration und dann einsetzen der Grenzen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:12 Di 02.02.2010 | | Autor: | gfm |
Der Integrand ist nicht-negativ, verschieden von der Nullfunktion und periodisch. Der Wert des Integralss über eine Periode wird sicher von null verschieden sein. Die Anzahl der Perioden im Integrationsuntervall strebt gegen unendlich.
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ok besten dank: ich geh dann davon aus, dass ich am ende [mm] \inf [/mm] durch [mm] \inf [/mm] teile und somit als ergebnis 1/2 erhalte oder?
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also teile ich zuletzt [mm] \inf [/mm] durch [mm] \inf [/mm] und erhalte 1/2 als ergebnis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Di 02.02.2010 | | Autor: | gfm |
[mm] cos^2(x) [/mm] zerlegt das Rechteck [mm] [0,\pi]\times[0,1] [/mm] wird durch seinen Graphen in zwei gleich Teile und hat eine Periode von [mm] \pi
[/mm]
Deswegen ist das Integral von 0 bis [mm] \pi [/mm] gleich [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Beim Übergang zu [mm] cos^2(a-wt), [/mm] was das Gleiche wie [mm] cos^2(wt-a) [/mm] oder [mm] cos^2(w(t-a/w)) [/mm] ist, wird obiges Integrationsfenster verschoben und skaliert. Das Verschieben ändert nichts am Wert. Das Skalieren bringt einen Faktor [mm] \bruch{1}{w}. [/mm] Die neue Periode ist [mm] \bruch{\pi}{w}.
[/mm]
Für [mm] T(n)=n\bruch{\pi}{w} [/mm] sollte sich also ein Wert für das Integral von [mm] 2n\bruch{\pi}{2}\bruch{1}{w} [/mm] ergeben. Nach Division durch T(n) erhält man also einen Wert von 1.
Wenn T von [mm] n\bruch{\pi}{w} [/mm] auf [mm] (n+1)\bruch{\pi}{w} [/mm] wächst das Integral von I(n) auf I(n+1):
[mm] \bruch{I(n) +\delta I}{T(n) + \delta T}=\bruch{1+\bruch{\delta I}{I(n)}}{1+\bruch{\delta T}{T(n)}}\sim 1+\bruch{\delta I}{I(n)}-\bruch{\delta T}{T(n)}
[/mm]
Damit ist auch klar, dass für [mm] T\to\infty [/mm] der Grenzwert existiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Di 02.02.2010 | | Autor: | gfm |
Du hast recht. Da steht natürlich 1/2T.
Dann kommt 1/2 raus.
LG
gfm
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