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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Integralgleichung --> AWP
Integralgleichung --> AWP < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integralgleichung --> AWP: Wie geht man vor?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Mi 15.01.2014
Autor: mikexx

Aufgabe
Betrachte die Integralgleichung

[mm] $u(x)-\int_a^x F(x,y,u(y))\, [/mm] dy=f(x)$ für [mm] $x\in [/mm] [a,b]$

im Spezialfall $a:=0, b:=1, F(x,y,u)=xyu, f(x):=1$.

Überführen Sie die Integralgleichung (in diesem Spezialfall) in eine äquivalente Anfangswertaufgabe für eine ODE 2. Ordnung auf [0,1].

Hallo und guten Abend,

leider weiß ich so gar nicht, wie ich vorgehen muss.


(Es ist mir lediglich (noch aus vergangenen Zeiten) bekannt, dass man ein Anfangswertproblem für eine ODE erster Ordnung, also so etwas wie

$y'=g(x,y), [mm] y(x_0)=y_0$ [/mm]

in eine Integralgleichung

[mm] $y(x)=y_0+\int_{x_0}^x g(s,y(s))\, [/mm] ds$

überführen kann.)


Könnte mir bitte jemand helfen?


Viele Grüße!

Mike

        
Bezug
Integralgleichung --> AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:34 Do 16.01.2014
Autor: fred97

Im Spezialfall laute doch die Gleichung



$ [mm] u(x)-\int_a^x F(x,y,u(y))\, [/mm] dy=f(x) $

so:



$ [mm] u(x)-x*\int_0^x yu(y)\, [/mm] dy=1 $

Differenziere diese Gleichung 2 mal nach x. Fertig !

FRED

Bezug
                
Bezug
Integralgleichung --> AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Do 16.01.2014
Autor: mikexx

Hallo,

das äquivalente Anfangswertproblem lautet also

$u''=g(x,u,u')$ mit $g(x,u,u')=xu(x)+2xu(x)+x^2u'(x)$

$u(0)=0$

$u'(0)=0$.



Ok?

Bezug
                        
Bezug
Integralgleichung --> AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:26 Fr 17.01.2014
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> das äquivalente Anfangswertproblem lautet also
>  
> [mm]u''=g(x,u,u')[/mm] mit [mm]g(x,u,u')=xu(x)+2xu(x)+x^2u'(x)[/mm]
>  
> [mm]u(0)=0[/mm]

Das stimmt nicht. Es ist u(0)=1

FRED

>  
> [mm]u'(0)=0[/mm].
>  
>
>
> Ok?


Bezug
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