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Integralgrenze finden: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Date: 17:29 Fr 04/12/2015
Author: JuppVanGrachten

Aufgabe
[mm] 4 \cdot \int_{0}^{r_1}\, r^2 \cdot \mathrm{exp}\,(-2r)\, \mathrm{d}r = 0,9 [/mm]

Hallo,
ich habe die Lösung zu dieser Frage ([mm]r_1 = 2,6612 [/mm]), und ich habe eine CAS (Mathematica) zur Verfügung, trotzdem bin ich nichtmal in der Lage Mathematica zu sagen wie es nach r1 lösen soll.
Geschweigedenn das selbst zu lösen.
Es ist laut Mathematica [mm]4\cdot \int_{0}^{x}\, r^2 \cdot \mathrm{exp}(-2r)\, \mathrm{d}r = 1 + \mathrm{exp}\, (-2x) \, (-1-2x\,(1+x)) [/mm]

Einen kleinen Schubs in die richtige Richtung wüsste ich sehr zu schätzen.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integralgrenze finden: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 17:50 Fr 04/12/2015
Author: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]
> [mm]4 \cdot \int_{0}^{r_1}\, r^2 \cdot \mathrm{exp}\,(-2r)\, \mathrm{d}r = 0,9[/mm]

>

> Hallo,
> ich habe die Lösung zu dieser Frage ([mm]r_1 = 2,6612 [/mm]), und
> ich habe eine CAS (Mathematica) zur Verfügung, trotzdem
> bin ich nichtmal in der Lage Mathematica zu sagen wie es
> nach r1 lösen soll.
> Geschweigedenn das selbst zu lösen.
> Es ist laut Mathematica [mm]4\cdot \int_{0}^{x}\, r^2 \cdot \mathrm{exp}(-2r)\, \mathrm{d}r = 1 + \mathrm{exp}\, (-2x) \, (-1-2x\,(1+x))[/mm]

>

> Einen kleinen Schubs in die richtige Richtung wüsste ich
> sehr zu schätzen.

Eine Stammfunktion zu $ f(r) = [mm] r^2 \cdot e^{-2r} [/mm] $ ist  doch [mm] $F(r)=-\frac{1}{4}\cdot(2r^2+2r+1)\cdot e^{-2r}$ [/mm]
(Das ganze bekommst du durch zweimalige partielle Integration recht schnell heraus).

Damit ist dann
[mm] $4\cdot\int\limits_{0}^{r_{1}}r^2 \cdot e^{-2r}dr$ [/mm]
[mm] $=\left[-(2r^2+2r+1)\cdot e^{-2r}\right]_{0}^{r_{1}}$ [/mm]
[mm] $=\left[-(2r_{1}^2+2r_{1}+1)\cdot e^{-2r_{1}}\right]-\left[-(2\cdot0^2+2\cdot0+1)\cdot e^{-2\cdot0}\right]$ [/mm]
[mm] $=-(2r_{1}^2+2r_{1}+1)\cdot e^{-2r_{1}}+1$ [/mm]

Wenn du dieses noch gleich den 0,9 setzt, bekommst du
[mm] $0,9=-(2r_{1}^2+2r_{1}+1)\cdot e^{-2r_{1}}+1$ [/mm]

Diese Gleichung musst du nun mit einem Näherungsverfahren lösen, muss es denn mit Mathematica gelöst werden?

Marius

Bezug
                
Bezug
Integralgrenze finden: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 18:12 Fr 04/12/2015
Author: JuppVanGrachten

Nein, die Aufgabe muss nicht mit Mathematica gelöst werden, es geht um eine physikalische Fragestellung (Quantenmechanik), bei der die mathematischen Grundlagen natürlich sehr wichtig, aber nicht eigentlicher - naja ich sag mal - Prüfungsgegenstand sind. Zumindest nicht, wenn es dann auf ein Näherungsverfahren hinausläuft. Für die meisten komplexeren Aufgaben sind Substitutionshinweise gegeben, oder gleich das unbestimmte Integral o.ä. und da das keine "Sternchen"-Aufgabe ist, glaube ich fast dass das ein Irrtum ist und da sehr wohl ein "Sternchen" dran sein sollte.

Vielleicht gibt es auch eine einfachere Lösungsmöglichkeit:

Die Aufgabe lautet konkret: Wie ist der Radius r einer Sphäre, innerhalb der sich ein Elektron mit P(r)=90% aufhält, wobei [mm]P(r)= \left( \frac{4}{a_{0}^{3}} \right)\, r^2\, \mathrm{exp}\left(\frac{-\rho}{2}\right) \quad \text{mit} \quad \rho = \frac{2r}{a_0}[/mm]


Edit:
Es ist [mm]a_0 = 0,5295[/mm]. Und das Integral ist dann eigentlich über [mm]P(x)\, \mathrm{d}\rho[/mm]

Edit II:
In einem Lehrbuch dazu gibt es diese Aufgabe unter "leichte Aufgaben", wobei ich die anderen Aufgaben in der Rubrik wirklich ganz gut zu bewältigen finde. Ich nehme also an, dass ich da irgend einen speziellen Kniff übersehe der das Problem drastisch vereinfacht.

Wenn jemand interessiert ist kann ich auch noch etwas mehr Hintergrund erläutern.

Bezug
        
Bezug
Integralgrenze finden: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 18:20 Mi 09/12/2015
Author: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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