matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenIntegralkriterium Grenzen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Folgen und Reihen" - Integralkriterium Grenzen
Integralkriterium Grenzen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integralkriterium Grenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:45 Di 26.05.2015
Autor: RichardEb

Warum muss man beim Integralkriterium unterschiedliche Grenzen setzen, je nachdem ob man auf Divergenz oder Konvergenz prüft?

Bsp 1:
Divergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^\bruch{1}{2}} [/mm] beweisen. Hier kann die Grenze wohl direkt genutzt werden also [mm] \integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^\bruch{1}{2}} dx}=\infty [/mm] => divergent

Bsp 2:
Bei der Konvergenzprüfung muss offenbar - warum auch immer - Die Grenze mit (-1) angepasst werden.

Aufgabe: Beweisen Sie, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm]  konvergent ist.

Hier darf ich -laut meinen Unterlagen - nicht einfach rechnen: [mm] \integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2}dx}=1 [/mm] => konv, sondern ich muss die Grenze um -1 ändern. Also:   [mm] \integral_{0}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2} dx}. [/mm] Da das hier nicht definiert ist, muss ich alternativ die Reihe anpassen. Also:


[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] entspricht  [mm] \integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2} dx}=1 [/mm]  für [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] muss ich nun nochmal rechnen f(x)= [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] f(1)=1 1+1=2 => konv.

Warum muss das dort so kompliziert? Muss man das immer machen oder nur bei der Betrachtung von Näherungsfehlern?

        
Bezug
Integralkriterium Grenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Di 26.05.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Warum muss man beim Integralkriterium unterschiedliche
> Grenzen setzen, je nachdem ob man auf Divergenz oder
> Konvergenz prüft?
>  
> Bsp 1:
> Divergenz von [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^\bruch{1}{2}}[/mm]
> beweisen. Hier kann die Grenze wohl direkt genutzt werden
> also [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^\bruch{1}{2}} dx}=\infty[/mm]
> => divergent
>  
> Bsp 2:
>  Bei der Konvergenzprüfung muss offenbar - warum auch
> immer - Die Grenze mit (-1) angepasst werden.
>  
> Aufgabe: Beweisen Sie, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm]
>  konvergent ist.
>
> Hier darf ich -laut meinen Unterlagen - nicht einfach
> rechnen: [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2}dx}=1[/mm] =>
> konv, sondern ich muss die Grenze um -1 ändern. Also:  
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2} dx}.[/mm] Da das hier
> nicht definiert ist, muss ich alternativ die Reihe
> anpassen. Also:
>  
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] entspricht  
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2} dx}=1[/mm]  für
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] muss ich nun nochmal
> rechnen f(x)= [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] f(1)=1 1+1=2 => konv.
>  
> Warum muss das dort so kompliziert? Muss man das immer
> machen oder nur bei der Betrachtung von Näherungsfehlern?

kannst Du mal genau Eure Formulierung des Kriteriums wiedergeben?
Wenn ich mich an

    []Wiki: http://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium

halte, so sehe ich bei Beispiel 2.):

Ich setze $p:=1 [mm] \in \IZ\,.$ [/mm] Die Funktion

    $f [mm] \colon [p,\infty)=[1,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm]

mit [mm] $f(x):=1/x^2$ [/mm] ist monoton fallend (insbesondere steht oben, dass sie nur
nichtnegative Werte annimmt).

Also existiert

    [mm] $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx$ [/mm]

genau dann, wenn

    [mm] $\sum_{n=p}^\infty f(n)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ [/mm]

konvergiert.

Da

    [mm] $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_{x=1}^\infty=1$ [/mm]

ist, konvergiert [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\,.$ [/mm]

Da ist NIX mit Indexverschiebung oder sowas von Nöten.
[Das Beispiel wird sogar bei Wiki selbst gerechnet:

    []http://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium#Beispiel.]

Auch beim ersten Beispiel: Sei $g [mm] \colon [p,\infty)=[1,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] gegeben durch
[mm] $g(x):=1/x\,.$ [/mm]

Da $g [mm] \ge [/mm] 0$ monoton fallend auf [mm] $[1,\infty)$ [/mm] ist, konvergiert

    [mm] $\sum_{n=1}^\infty g(n)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ [/mm]

genau dann, wenn

    [mm] $\int_1^\infty g(x)dx=\int_1^\infty \frac{1}{x}dx$ [/mm]

konvergiert. Letztstehendes Integral divergiert wegen

    [mm] $\int_1^\infty \frac{1}{x}dx=...=\lim_{1 < b \to \infty}(\ln(b)-\ln(1))=\lim_{1 < b \to \infty}\ln(b)=\infty$ [/mm]

aber; also divergiert auch

    [mm] $\sum_{n=1}^\infty g(n)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Integralkriterium Grenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 Di 26.05.2015
Autor: Marcel

Hallo nochmal,

> Warum muss man beim Integralkriterium unterschiedliche
> Grenzen setzen, je nachdem ob man auf Divergenz oder
> Konvergenz prüft?

wie gesagt, das ist eigentlich Quatsch, wenn man das Kriterium richtig
formuliert.

> Bsp 2:
>  Bei der Konvergenzprüfung muss offenbar - warum auch
> immer - Die Grenze mit (-1) angepasst werden.
>  
> Aufgabe: Beweisen Sie, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm]
>  konvergent ist.
>
> Hier darf ich -laut meinen Unterlagen - nicht einfach
> rechnen: [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2}dx}=1[/mm] =>
> konv, sondern ich muss die Grenze um -1 ändern. Also:  
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2} dx}.[/mm] Da das hier
> nicht definiert ist, muss ich alternativ die Reihe
> anpassen. Also:

Ich schätze einfach mal, ihr arbeitet direkt mit der Ungleichung aus der
[]Wiki: Formulierung.

Dort steht

    [mm] $\sum_{n=p+1}^\infty f(n)\;\le\;\int_p^\infty [/mm] f(x)dx$,

und wenn man diese benutzt, so folgt (weil die Reihe linkerhand dann wachsend
und nach oben beschränkt ist) die Konvergenz der linken Reihe, wenn das
Integral rechterhand konvergiert.

>  
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] entspricht  
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{ \bruch{1}{x^2} dx}=1[/mm]  für
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2}[/mm] muss ich nun nochmal
> rechnen f(x)= [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] f(1)=1 1+1=2 => konv.
>  
> Warum muss das dort so kompliziert? Muss man das immer
> machen oder nur bei der Betrachtung von Näherungsfehlern?

Nein, eigentlich ist das Ganze echt unnötig kompliziert. Der Satz ist direkt
und ohne diese unnötige Brumborium auf Wiki formuliert, und so kannst Du
ihn auch benutzen.

Das "Wichtige" ist, dass

    [mm] $\blue{\sum_{n=p}^\infty f(n)}$ [/mm]

genau dann konvergiert, wenn

    [mm] $\blue{\sum_{n=p+1}^\infty f(n)}$ [/mm]

konvergiert.
Daher zeigt die Ungleichungskette

    [mm] $\sum_{n=p+1}^\infty [/mm] f(n) [mm] \leq \int_p^\infty [/mm] f(x) [mm] \,\mathrm [/mm] dx [mm] \leq \sum_{n=p}^\infty [/mm] f(n)$,

die unter den gemachten Voraussetzungen an [mm] $f\,$ [/mm] gilt, sofort die Korrektheit
des Satzes so, wie er in Wiki formuliert ist.

Ihr arbeitet vermutlich ohne die blaue Info und direkt mit der Ungleichungskette,
daher macht ihr manchmal so einen *Indexshift*, den ihr aber eigentlich
nicht bräuchtet.

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]