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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Fr 16.12.2011 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, Zusammen!
Ich muss zeigen, dass
[mm] \phi\mapsto A\phi, (A\phi)(x)=\int_{a}^{b}sin(x+y)\phi(y)dy [/mm]
ein kompakter Operator auf [mm] L^2[a,b], [/mm] b>a ist.
Wie zeigt man denn so was? Ich habe überhaupt keinen Schiemer wie man so was macht.
Habt Ihr vll einen Tipp für mich? Das wäre super nett!!
Vielen Dank im Voraus
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Fr 16.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, Zusammen!
> Ich muss zeigen, dass
> [mm]\phi\mapsto A\phi, (A\phi)(x)=\int_{a}^{b}sin(x+y)\phi(x)dy[/mm]
> ein kompakter Operator auf [mm]L^2[a,b],[/mm] b>a ist.
>
> Wie zeigt man denn so was? Ich habe überhaupt keinen
> Schiemer wie man so was macht.
> Habt Ihr vll einen Tipp für mich? Das wäre super nett!!
Tipp: Benutze das Additionstheorem der Sinusfunktion, dann hast du
[mm] (A\phi)(x) = c_1(\phi) \sin x + c_2(\phi) \cos x [/mm] mit [mm] $|c_1(\phi)|,|c_2(\phi)| \le \|\phi\| [/mm] $ .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Fr 16.12.2011 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, Rainer!!
Vielen-vielen Dank für deine Hilfe!!
> Hallo!
>
> > Hallo, Zusammen!
> > Ich muss zeigen, dass
> > [mm]\phi\mapsto A\phi, (A\phi)(x)=\int_{a}^{b}sin(x+y)\phi(x)dy[/mm]
> > ein kompakter Operator auf [mm]L^2[a,b],[/mm] b>a ist.
> >
> > Wie zeigt man denn so was? Ich habe überhaupt keinen
> > Schiemer wie man so was macht.
> > Habt Ihr vll einen Tipp für mich? Das wäre super
> nett!!
>
> Tipp: Benutze das Additionstheorem der Sinusfunktion, dann
> hast du
>
> [mm](A\phi)(x) = c_1(\phi) \sin x + c_2(\phi) \cos x[/mm] mit
> [mm]|c_1(\phi)|,|c_2(\phi)| \le \|\phi\|[/mm] .
Ich habe nachgerechnet [mm] c_1(\phi(x))=\phi(x)(\sin(b)-\sin(a)) [/mm] und [mm] c_2(\phi(x))=\phi(x)(\cos(a)-\cos(b)). [/mm] Stimmt das so?
Aber wie zeige ich denn jetzt die Kompaktheit von [mm] A\phi?
[/mm]
Muss ich jetzt für [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos [/mm] eine Funktionsfolge suchen, die auf [a,b] beschränkt ist und gucken ob der Wert [mm] ||A\phi-A_n\phi||_{L^2[a,b]} [/mm] gegen 0 konvergiert? Außerdem sind a und b gar nicht festgelegt...
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:41 Sa 17.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, Rainer!!
> Vielen-vielen Dank für deine Hilfe!!
>
> > Hallo!
> >
> > > Hallo, Zusammen!
> > > Ich muss zeigen, dass
> > > [mm]\phi\mapsto A\phi, (A\phi)(x)=\int_{a}^{b}sin(x+y)\phi(x)dy[/mm]
> > > ein kompakter Operator auf [mm]L^2[a,b],[/mm] b>a ist.
> > >
> > > Wie zeigt man denn so was? Ich habe überhaupt keinen
> > > Schiemer wie man so was macht.
Mir fällt gerade auf, dass ich
[mm] \phi\mapsto A\phi, (A\phi)(x)=\int_{a}^{b}sin(x+y)\phi(\red{y})dy[/mm]
gelesen habe. Denn wenn da [mm] $\phi(x)$ [/mm] steht, kannst du es vor das Integral ziehen und du hast
[mm] (A\phi)(x)=\phi(x)\int_{a}^{b}sin(x+y)dy = (\cos(x+a)-\cos(x-b)) \phi(x) [/mm] ,
was die Sache doch sehr vereinfacht.
> > > Habt Ihr vll einen Tipp für mich? Das wäre super
> > nett!!
> >
> > Tipp: Benutze das Additionstheorem der Sinusfunktion, dann
> > hast du
> >
> > [mm](A\phi)(x) = c_1(\phi) \sin x + c_2(\phi) \cos x[/mm] mit
> > [mm]|c_1(\phi)|,|c_2(\phi)| \le \|\phi\|[/mm] .
>
> Ich habe nachgerechnet
> [mm]c_1(\phi(x))=\phi(x)(\sin(b)-\sin(a))[/mm] und
> [mm]c_2(\phi(x))=\phi(x)(\cos(a)-\cos(b)).[/mm] Stimmt das so?
> Aber wie zeige ich denn jetzt die Kompaktheit von [mm]A\phi?[/mm]
> Muss ich jetzt für [mm]\sin[/mm] und [mm]\cos[/mm] eine Funktionsfolge
> suchen, die auf [a,b] beschränkt ist und gucken ob der
> Wert [mm]||A\phi-A_n\phi||_{L^2[a,b]}[/mm] gegen 0 konvergiert?
> Außerdem sind a und b gar nicht festgelegt...
Wenn du den Satz von von Arzelà-Ascoli schon kennst, kannst du ihn hier anwenden,
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 So 18.12.2011 | | Autor: | lilia25 |
OOO Sorry!!
Das war wirklcih y!!! Tut mir leid habe mich verschrieben!!
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:10 Sa 17.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Approximiere sin(x+y) auf [mm] [a,b]^2 [/mm] gleichmäßig durch eine Folge [mm] (p_n) [/mm] von Polynomen in x und y.
(Weierstraß !).
Dann betrachte
$ [mm] \phi\mapsto A_n\phi, (A_n\phi)(x)=\int_{a}^{b}p_n(x,y)\phi(x)dy [/mm] $
Jedes [mm] A_n [/mm] ist ein stetiger endlichdim. Operator, also kompakt. Zeige dass [mm] (A_n) [/mm] inder Operatorennorm gegen A konvergiert.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 So 18.12.2011 | | Autor: | lilia25 |
> Approximiere sin(x+y) auf [mm][a,b]^2[/mm] gleichmäßig durch eine
> Folge [mm](p_n)[/mm] von Polynomen in x und y.
>
> (Weierstraß !).
>
> Dann betrachte
> [mm]\phi\mapsto A_n\phi, (A_n\phi)(x)=\int_{a}^{b}p_n(x,y)\phi(y)dy[/mm]
>
> Jedes [mm]A_n[/mm] ist ein stetiger endlichdim. Operator, also
> kompakt. Zeige dass [mm](A_n)[/mm] inder Operatorennorm gegen A
> konvergiert.
>
> FRED
Ich danke für die Hilfe!!
Weierstraß sagt das für jede stetige Funktion auf dem kompakten Intervall [mm] \[a,b\] [/mm] existiert eine Folge [mm] (p_n)_{n=0}^{\infty} [/mm] mit [mm] p_n\in\mathcal{P}_n [/mm] für jedes [mm] n\in\IN, [/mm] so dass: [mm] \limes_{n\to\infty}||p_n-f||_{L^2[a,b]}=0.
[/mm]
Um das Polynom zu definieren, kann man doch die Reihendarstellung von [mm] \sin(x+y) [/mm] also [mm] p_n=\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{2k+1!}(x+y)^{2k+1} [/mm] nehmen oder? Dann gilt also:
[mm] ||p_n-f||^2_{L^2[a,b]}=\integral_{a}^{b}\Big(\integral_a^b{{\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{2k+1!}(x+y)^{2k+1}\phi(y) dy}-\integral_{a}^{b}{sin(x+y)\phi(y) dy}\Big)^2dx}=\integral_{a}^{b}{\Big(\integral_a^b{\phi(y)\Big(\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{2k+1!}(x+y)^{2k+1} -sin(x+y)\Big)dy}\Big)^2dx}\to{0} [/mm] für [mm] n\to\infty.
[/mm]
Beste Grüße
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Mo 19.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Approximiere sin(x+y) auf [mm][a,b]^2[/mm] gleichmäßig durch eine
> > Folge [mm](p_n)[/mm] von Polynomen in x und y.
> >
> > (Weierstraß !).
> >
> > Dann betrachte
> > [mm]\phi\mapsto A_n\phi, (A_n\phi)(x)=\int_{a}^{b}p_n(x,y)\phi(y)dy[/mm]
>
> >
> > Jedes [mm]A_n[/mm] ist ein stetiger endlichdim. Operator, also
> > kompakt. Zeige dass [mm](A_n)[/mm] inder Operatorennorm gegen A
> > konvergiert.
> >
> > FRED
>
> Ich danke für die Hilfe!!
>
> Weierstraß sagt das für jede stetige Funktion auf dem
> kompakten Intervall [mm]\[a,b\][/mm] existiert eine Folge
> [mm](p_n)_{n=0}^{\infty}[/mm] mit [mm]p_n\in\mathcal{P}_n[/mm] für jedes
> [mm]n\in\IN,[/mm] so dass:
> [mm]\limes_{n\to\infty}||p_n-f||_{L^2[a,b]}=0.[/mm]
> Um das Polynom zu definieren, kann man doch die
> Reihendarstellung von [mm]\sin(x+y)[/mm] also
> [mm]p_n=\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{2k+1!}(x+y)^{2k+1}[/mm]
> nehmen oder? Dann gilt also:
>
> [mm]||p_n-f||^2_{L^2[a,b]}=\integral_{a}^{b}\Big(\integral_a^b{{\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{2k+1!}(x+y)^{2k+1}\phi(y) dy}-\integral_{a}^{b}{sin(x+y)\phi(y) dy}\Big)^2dx}=\integral_{a}^{b}{\Big(\integral_a^b{\phi(y)\Big(\summe_{k=0}^{n}\bruch{(-1)^k}{2k+1!}(x+y)^{2k+1} -sin(x+y)\Big)dy}\Big)^2dx}\to{0}[/mm]
> für [mm]n\to\infty.[/mm]
>
> Beste Grüße
> Vielen Dank!
>
1. Es geht um die glm. Approximation des Kerns $(x,y) [mm] \to [/mm] sin(x+y)$ !!!
2. Die Polynome [mm] p_n [/mm] mußt Du nicht kennen. Es genügt, dass man weiß, dass solche existieren
FRED
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