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Forum "Integralrechnung" - Integralproblem
Integralproblem < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Integralproblem: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 Mi 19.10.2016
Autor: gr5959

Aufgabe
[mm] \integral_{0}^{t}{x\wurzel{x-t} dx} [/mm]


Berechnet werden soll das bestimmte Integral von 0 bis t von x(x-t)^(1/2) dx).  Mein Problem ist eine Teilrechnung davon, nämlich das unbestimmte Integral von  x(x-t)^(1/2 dx
Ein Online-Integralrechner (www.integralrechner.de) liefert dafuer den folgenden  Rechenweg.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Doch ich verstehe nicht,
(1) warum man t nicht einfach als Konstante behandeln kann,
(2) warum man x als x-t+t schreiben soll, und
(3) wie man zum Ergebnis
Integral von (x-t)^(3/2) dx + Integral von t mal Wurzel aus (x-t) kommt.
Die weiteren Rechenschritte machen mir keine Schwierigkeiten, aber meine elementaren Kenntnisse der Integration lassen mich bei (1) bis (3) in Stich.


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Integralproblem: Erklaerung des Dateianhangs
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:47 Mi 19.10.2016
Autor: gr5959

Aufgabe
Integral von 0 bis t von [x(x-t)^(1/2)] dx

Mein Dateianhang kommt nicht ueber, so schreibe ich hier meine Frage noch einmal ohne ihn:

Aufgabe: Das bestimmte Integral von 0 bis t von x(x-t)^(1/2). Ein Online-Integralrechner liefert diesen Rechenweg:

Schreibe x als x-t+t und teile auf:
Integral von [(x-t)^(3/2) + t (x-t)^(1/2)] dx

Ich verstehe nicht,  
(1) warum man t nicht einfach als Konstante behandeln kann,
(2) warum man x als x-t+t schreiben soll, und
(3) wie man zum Ergebnis
Integral von (x-t)^(3/2) dx + Integral von t mal Wurzel aus (x-t) kommt.

Die weiteren Rechenschritte machen mir keine Schwierigkeiten, aber meine elementaren Kenntnisse der Integration lassen mich bei (1) bis (3) in Stich.


Bezug
        
Bezug
Integralproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Mi 19.10.2016
Autor: abakus


> [mm]\integral_{0}^{t}{x\wurzel{x-t} dx}[/mm]
>  Berechnet werden soll
> das bestimmte Integral von 0 bis t von x(x-t)^(1/2) dx).  
> Mein Problem ist eine Teilrechnung davon, nämlich das
> unbestimmte Integral von  x(x-t)^(1/2 dx
>  Ein Online-Integralrechner liefert dafuer den folgenden  
> Rechenweg.
> [Dateianhang nicht öffentlich]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>   Doch ich verstehe nicht,
> (1) warum man t nicht einfach als Konstante behandeln
> kann,

t ist eine Konstante und wird auch so behandelt.

>  (2) warum man x als x-t+t schreiben soll, und

Weil es zweckmäßig ist. Man hat dir durch den Hinweis schon die Arbeit abgenommen, selbst darauf zu kommen, also meckere nicht.

>  (3) wie man zum Ergebnis
> Integral von (x-t)^(3/2) dx + Integral von t mal Wurzel aus
> (x-t) kommt.

Weil $(\blue{x-t}+\red{t})\cdot  \sqrt{x-t)$ nun mal $\blue{(x-t)}^{1,5}}+\red{t\cdot  \sqrt{x-t)}$ ist.

> Die weiteren Rechenschritte machen mir keine
> Schwierigkeiten, aber meine elementaren Kenntnisse der
> Integration lassen mich bei (1) bis (3) in Stich.
>  


Bezug
                
Bezug
Integralproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:58 Do 20.10.2016
Autor: gr5959

Danke! Ich sah den Wald vor Bäumen nicht! Inzwischen habe ich gefunden, dass jener Rechentrick (gleichzeitige Addition und Subtraktion von t) gar nicht erforderlich ist, sondern sich die Aufgabe auch allein mit der bekannten Regel von der partiellen Integration (Integral von u mal v' = u mal v minus Integral von u' mal v) lösen lässt.

Bezug
        
Bezug
Integralproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:28 Do 20.10.2016
Autor: fred97

1. Für t > 0 ist die Aufgabe sinnlos ! Denn ist für x im Intervall [0,t) ist x-t <0. Was soll dann [mm] \wurzel{x-t} [/mm] sein ?

2. Für t [mm] \le [/mm] 0 ist  

   $ [mm] \integral_{0}^{t}{x\wurzel{x-t} dx}=- \integral_{t}^{0}{x\wurzel{x-t} dx} [/mm] $.

Jetzt hilft die Substitution u=x-t weiter.



Bezug
                
Bezug
Integralproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:00 Do 20.10.2016
Autor: gr5959

Danke! Das leuchtet ein. Doch ich frage mich, warum sowohl WolframAlpha, als auch Integralrechner.de und auch Khan Academy die zitierte Aufgabe auf die gleiche Weise vorrechnen und zum gleichen Endergebnis ((4/15)*(-t)^(5/2) + C kommen, dabei aber die von dir aufgewiesenen Beschränkungen von t ignorieren? Weil sie als selbstverständlich erachtet werden?

Bezug
                        
Bezug
Integralproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 Do 20.10.2016
Autor: fred97


> Danke! Das leuchtet ein. Doch ich frage mich, warum sowohl
> WolframAlpha, als auch Integralrechner.de und auch Khan
> Academy die zitierte Aufgabe auf die gleiche Weise
> vorrechnen und zum gleichen Endergebnis ((4/15)*(-t)^(5/2)
> + C kommen, dabei aber die von dir aufgewiesenen
> Beschränkungen von t ignorieren? Weil sie als
> selbstverständlich erachtet werden?


Deine Rechenknechte berechnen Stammfunktionen und keine bestimmten Integrale.

Schau Dir mal das Integral [mm] \integral_{-23}^{-5}{\bruch{1}{2*\wurzel{x}} dx} [/mm] an.

Das Intergaral ist völlig ballaballa, weil [mm] \wurzel{x} [/mm] im Integrationsintervall nicht def. ist.

Lässt Du einen Integralrechner eine Stammfunktion des Integranden bestimmen (und das hast Du oben getan), so liefert er Dir

  $ [mm] \wurzel{x}+C$. [/mm]

Das ist völlig in Ordnung, denn  $F(x):= [mm] \wurzel{x}+C$ [/mm] ist eine Stammfunktion von [mm] $f(x):=\bruch{1}{2*\wurzel{x}}$ [/mm] auf dem Intervall [mm] $(0,\infty)$. [/mm]

Das Du anschließend über das Intervall $[-23,-5]$ integrieren willst, kann der Integralrechner doch nicht roechen !

FRED

Bezug
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