Integralrechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen sie, dass der Graph mit der Funktion f mit f(x)=x+e^(-x+2) mit den Geraden mit den Gleichungen y=x, x=5 und x=10 eine Fläche einschließt, deren Inhalt kleiner als 0,05 ist. Wie weit müssen sie die Gerade mit der Gleichung x=10 nach rechts verschieben, damit der eingeschlossene Flächeninhalt größer als 0,05 wird (Achtung: gemeine Frage!)? Veranschaulichen sie, wieso es keine Lösung gibt.
Anmerkung: Machen sie sich vorher Gedanken zum asymptotischen Verhalten des Graphen von f. Auf die Betrachtung welcher Funktion g könnte man dieses "Differenzproblem" reduzieren? |
Also der erste Teil ist soweit kein Problem. Die beiden Gleichungen x=5 und x=10 geben ja das Intervall an, könnte man sagen, und somit muss ich nur die Fläche zwischen den beiden Graphen in diesem Intervall berechnen, welche tatsächlich unter 0,05 liegt.
Jetzt aber zu der Sache mit dem verschieben. Ich habe mir also gesagt, dass ich die obere Grenze verändern müsste. Wenn die Fläche also nie größer als 0,05 sein dürfte, dann müsste das auch der Grenzwert sein, wenn man die Obergrenze gegen Unendlich laufen lässt. Wenn man das tut komtm allerdings ebenfalls Unendlich heraus. Welchen Fehler mache ich dabei?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Di 16.01.2007 | | Autor: | Melli1988 |
Hilfeeeeeeee :)
|
|
|
| |
|
Hi, Melli,
> Zeigen sie, dass der Graph mit der Funktion f mit
> f(x)=x+e^(-x+2) mit den Geraden mit den Gleichungen y=x,
> x=5 und x=10 eine Fläche einschließt, deren Inhalt kleiner
> als 0,05 ist. Wie weit müssen sie die Gerade mit der
> Gleichung x=10 nach rechts verschieben, damit der
> eingeschlossene Flächeninhalt größer als 0,05 wird
> (Achtung: gemeine Frage!)? Veranschaulichen sie, wieso es
> keine Lösung gibt.
> Anmerkung: Machen sie sich vorher Gedanken zum
> asymptotischen Verhalten des Graphen von f. Auf die
> Betrachtung welcher Funktion g könnte man dieses
> "Differenzproblem" reduzieren?
> Also der erste Teil ist soweit kein Problem. Die beiden
> Gleichungen x=5 und x=10 geben ja das Intervall an, könnte
> man sagen, und somit muss ich nur die Fläche zwischen den
> beiden Graphen in diesem Intervall berechnen, welche
> tatsächlich unter 0,05 liegt.
>
> Jetzt aber zu der Sache mit dem verschieben. Ich habe mir
> also gesagt, dass ich die obere Grenze verändern müsste.
> Wenn die Fläche also nie größer als 0,05 sein dürfte, dann
> müsste das auch der Grenzwert sein, wenn man die Obergrenze
> gegen Unendlich laufen lässt. Wenn man das tut komtm
> allerdings ebenfalls Unendlich heraus. Welchen Fehler mache
> ich dabei?
Das weiß ich nicht, weil Du Deinen Ansatz nicht hinschreibst!
Du hast doch folgendes Integral:
[mm] \integral_{5}^{b}{(x+e^{-x+2} - x)dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{5}^{b}{e^{-x+2}dx}
[/mm]
= [mm] [-e^{-x+2}]_{5}^{b}
[/mm]
= [mm] -e^{-b+2} [/mm] + [mm] e^{-3}
[/mm]
Wenn Du nun den Grenzwert für b [mm] \to +\infty [/mm] bildest, geht [mm] e^{-b+2}gegen [/mm] 0 und damit der gesamte Ausdruck gegen [mm] e^{-3}, [/mm] was ungefähr 0,049787 (also immer noch weniger als 0,05) ist.
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Di 16.01.2007 | | Autor: | Melli1988 |
Mein Ansatz... bei uns geht doch alles mit diesem Computer Algebra System... nicht mehr wirklich Kopfrechnen...
Find ich aber auch nicht gut...
Ja, das sieht einleuchtend aus. Vielleicht verlasse ich mich nächstes Mal einfach mal auf meinen Kopf. Dankeschön!
Liebe Grüße
|
|
|
|
