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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Do 24.05.2007 | | Autor: | Fabe. |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das unbestimmte Integral [mm] \integral_{}^{}{(\wurzel{1+x}-1 )/ (\wurzel{1+x} + 1) dx}. [/mm] |
Hi Leute,
also ich habe hier diese schöne Aufgabe mit dem Integral und schon vieles rumprobiert, komme aber nicht auf die Lösung, die Derive mir gibt:
4·LN( [mm] \wurzel{(x + 1)} [/mm] + 1) - 4· [mm] \wurzel{(x + 1)} [/mm] + x.
Also, wenn jemand hier Lust hat sich daran zu probieren und auf das Ergebnis kommt würde ich mir sehr freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Do 24.05.2007 | | Autor: | TRANSLTR |
Ich kann dir einen gewissen Ansatz geben, vielleicht kommst du dann weiter.
[mm] \wurzel{x+1} [/mm] kann du durch y ersetzen. Dann musst du nur noch
[mm] \integral{f(x) dx} \bruch{y-1}{y+1} [/mm] berechnen, und zwar mit der Partialbruchzerlegungsmethode. Da diese Aufgabe aber auch eine Substitution drin hat, muss die Ableitung von y auch noch reinkommen!
Frag ruhig, wenn du nicht weisst wie das geht.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo fabe,
du kannst das Integral zuerst etwas umformen und in Teilintegrale aufteilen:
$\integral{\frac{\wurzel{1+x}-1 }{\wurzel{1+x}+1}dx}=\integral{\frac{(\wurzel{1+x}-1)\red{\cdot{}( \wurzel{1+x}-1)}}{(\wurzel{1+x}+1)\red{\cdot{}(\wurzel{1+x}-1)}}dx}$ so erweitern, dass du die 3te binom. Formel im Nenner hast
$=\int{\frac{(\sqrt{1+x}-1)^2}{1+x-1}dx=\int{\frac{1+x-2\sqrt{1+x}+1}{x}dx}=\int{\frac{x+2}{x}dx}-2\int{\frac{\sqrt{1+x}}{x}dx}$
$=\int{1+\frac{2}{x}dx}-2\int{\frac{\sqrt{1+x}}{x}dx}=\int{1dx}+2\int{\frac{1}{x}dx}-2\int{\frac{\sqrt{1+x}}{x}dx}$
Die ersten beiden Integrale machste mit links,
das hintere Integral kannst du nun mit der Substitution $u:=\sqrt{1+x}$ verarzten
Damit ist $x=u^2-1$ und $\frac{dx}{du}=2u\Rightarrow dx=2u\cdot{}du$
Das nun im letzten Integral ersetzen ( die vorderen schreibe ich nicht auf)
$=..=-2\int{\frac{u}{u^2-1}2udu}=-4\int{\frac{u^2}{u^2-1}du}=-4\int{\frac{u^2-1+1}{u^2-1}du}=-4\int{1+\frac{1}{u^2-1}du}=-4\int{1du}-4\int{\frac{1}{(u+1)(u-1)}du}$
Den Bruch im letzen Integral kannst du nun mittels Partialbruchzerlegung zu einer Summe vereinfachen und dann alles integrieren.
Aber kein Integral vergessen 
Und die substituierten nachher resubstituieren!!
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
es geht schneller mit dem Vorschlag von TRANSTLR
Substituiere direkt [mm] $u:=\sqrt{1+x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x=u^2-1\Rightarrow \frac{dx}{du}=2u\Rightarrow [/mm] dx=2udu$
Damit ist [mm] $\int{\frac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{1+x}+1}dx}=\int{\frac{u-1}{u+1}\cdot{}2udu}=2\int{\frac{u^2-u}{u+1}du}$
[/mm]
Da kannste ne Polynomdivision [mm] $(u^2-u):(u+1)$ [/mm] machen und bekommst raus:
[mm] $=2\int{\left(u-2+\frac{2}{u+1}\right)du}$
[/mm]
Und das kannste ja problemlos integrieren.
Gruß
schachuzipus
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