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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:10 Mo 07.04.2008 | | Autor: | babsbabs |
| Aufgabe | Bestimmen Sie denWert der folgenden Integrale näherungsweise auf 3 Dezimalstellen (ohne und mit Computer).
Hinweis: Entwickeln Sie den Integranden in eine Taylorreihe. Wieviele Terme sind nötig, um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{f(ln\bruch{1}{1-x^3}) dx} [/mm] |
Mein Ansatz:
Ich würde mal [mm] \bruch{1}{1-x^3} [/mm] durch z substituieren.
dz = x + [mm] \bruch{1}{x^2}
[/mm]
dh [mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{f(ln z) dx} [/mm] = z(ln z - 1)*(x + [mm] \bruch{1}{x^2})
[/mm]
Stimmt der Ansatz mal soweit (das Integrieren in der Schule ist schon leider paar Jährchen her bei mir)
Wie funktioniert das Entwickeln in eine Taylorreihe - da hab ich leider gar keinen Plan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Mo 07.04.2008 | | Autor: | babsbabs |
| Aufgabe | | Habe bei der Substitution einen Blödsinn gemacht: |
also mein z = [mm] \bruch{1}{1-x^3}
[/mm]
dann ist mein z' = [mm] \bruch{3x^2}{(1-x^3)^2}
[/mm]
dann ergibt sich [mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{f(ln\bruch{1}{1-x^3}) dx} [/mm] =
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{f(lnz*\bruch{(1-x^3)^2}{3x^2}) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{f(ln z) dx}= [/mm] z(lnz - 1)
wie muss ich jetzt korrekt einsetzen?
also
[mm] \integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{f(\bruch{1}{1-x^3}*ln (\bruch{1}{1-x^3} -1)*\bruch{(1-x^3)^2}{3x^2}) dx}
[/mm]
ergibt nach kürzung
[mm] \bruch{1-x^3}{3x^2}*ln\bruch{x^3}{1-x^3}
[/mm]
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Hallo!
Ja, da stimmt wirklich was nicht.
> Habe bei der Substitution einen Blödsinn gemacht:
> also mein z = [mm]\bruch{1}{1-x^3}[/mm]
>
> dann ist mein z' = [mm]\bruch{3x^2}{(1-x^3)^2}[/mm]
Ja, das ist [mm] \frac{dx}{dz}
[/mm]
>
> dann ergibt sich
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{f(ln\bruch{1}{1-x^3}) dx}[/mm] =
>
Wie sicher bist du, daß da tatsächlich noch ein f drin steht? Ohne dieses f zu kennen, kommst du nicht weit, ich glaube aber, da steht gar keins...
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{1}{2}}{f(lnz*\bruch{(1-x^3)^2}{3x^2}) dx}[/mm]
>
Hier müßte hinten natürlich auch schon ein dz dran stehen. Und du mußt in dem neu entstandenen Term natürlich auch das x gegen durch das z substituieren. Nach der Substitution muß das x vollkommen verschwunden sein.
Soweit ich das sehe, wird das aber außerordentlich kompliziert.
Aber in der Aufgabe steht nirgenswo, daß du das Integral analytisch lösen sollst.
1. Gib das Integral in den Computer ein, und lasse es numerisch berechnen.
2. Berechne die Taylorreihe. Falls du die nicht kennst, schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier , da wird das ohne viel Mathematik recht schnell hingeschrieben. Letztendlich brauchst du die 1., 2., 3., ... Ableitung deines Integranden, und bastelst dir daraus ein Polynom.
Dieses Polynom nähert deine Funktion, also den Integranden an. Je mehr Glieder das Polynom hat, desto besser!
Zum Integrieren: Nun, Polynome sind sehr einfach zu integrieren. Du erhälst eine Stammfunktion, welche WIEDER die Taylor-Reihe der wahren Stammfunktion ist.
Das Problem an der ganzen Sache ist nun, wieviele Terme der Taylor-Reihe du benötigts, um die geforderte Genauigkeit zu erreichen, hier heißt das Stichwort "Restglied"
Aber vielleicht versuchst du es erstmal bis hier hin.
Ach ja, der Entwicklungspunkt ist am besten [mm] x_0=0
[/mm]
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