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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Mi 24.06.2009 | | Autor: | flo0 |
| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{\pi/3}{f(\bruch{cos(3x)}{2}) dx}
[/mm]
Lösung = 0 |
Hi
ich hab dieses beispiel mal so angefangen zu rechnen, dass ich den Bruch auflöse indem ich aus /2 --> *1/2 mache! dann kann ich die multiplikative konstante vor das integral ziehen:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \integral_{0}^{\pi/3}{f(cos(3x)) dx}
[/mm]
dann hab ich die stammfunktion von cos(3x) gebildet --> sin(3x)
und dann hab ich die obergrenze minus der untergrenze gerechnet!
kommt aber das falsche raus! ich schätz mal ich hab einen fehler bei der stammfunktion, oder? kann mir jemand helfen/zeigen wie ich das rechnen muss büddde
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Mi 24.06.2009 | | Autor: | flo0 |
$ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\integral_{0}^{\pi/3}{cos(3x) dx} [/mm] $
das würde ich gerne integrieren
was ist die stammfunktion von cos(3x)
[mm] sin(3x)*\bruch{3x^2}{2} [/mm] ??
LG
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> [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}\integral_{0}^{\pi/3}{cos(3x) dx}[/mm]
>
> das würde ich gerne integrieren
>
> was ist die stammfunktion von cos(3x)
[mm] \integral_{}^{}{cos(3x) dx} [/mm] dann substituierst du z=3x [mm] \Rightarrow [/mm] dz=3dx [mm] \Rightarrow dx=\frac{dz}{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{1}{3}\integral_{}^{}{cos(z) dz} [/mm] = [mm] \frac{1}{3}*sin(z) [/mm] +c
rücksubstitution:
z=3x:
[mm] \Rightarrow \frac{1}{3}*sin(3x) [/mm]
die grenzen kannst du entweder mitsubstituieren oder mitschleifen, (aber dann immer x=.. dranschreiben). wenn du das 1-2 mal gemacht hast, wirst du das substituieren aber als überflüssig erachten ;)
>
> [mm]sin(3x)*\bruch{3x^2}{2}[/mm] ??
oh gott nein ;)
>
> LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Mi 24.06.2009 | | Autor: | abakus |
> > [mm]\bruch{1}{2}\cdot{}\integral_{0}^{\pi/3}{cos(3x) dx}[/mm]
> >
> > das würde ich gerne integrieren
> >
> > was ist die stammfunktion von cos(3x)
>
> [mm]\integral_{}^{}{cos(3x) dx}[/mm] dann substituierst du z=3x
> [mm]\Rightarrow[/mm] dz=3dx [mm]\Rightarrow dx=\frac{dz}{3}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{3}\integral_{}^{}{cos(z) dz}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{3}*sin(z)[/mm] +c
> rücksubstitution:
> z=3x:
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{3}*sin(3x)[/mm]
>
> die grenzen kannst du entweder mitsubstituieren oder
> mitschleifen, (aber dann immer x=.. dranschreiben). wenn du
> das 1-2 mal gemacht hast, wirst du das substituieren aber
> als überflüssig erachten ;)
>
> >
> > [mm]sin(3x)*\bruch{3x^2}{2}[/mm] ??
> oh gott nein ;)
> >
> > LG
>
Hallo,
wie du selbst schon mal angedeutet hast, soll das Ergebnis Null sein.
Das ist sofort sichtbar, denn die Funktion geht im betrachteten Intervall genau vom Hoch- zum nächsten Tiefpunkt und hat damit aufgrund der Form des Kosinusgraphen gleich viel Fläche ober- und unterhalb der x-Achse. Positive und negative Bestandteile des Integrals heben sich also vollständig auf.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mi 24.06.2009 | | Autor: | flo0 |
also gut, ich hab es jz auch schon soweit zusammen gebracht, dass ich die Stammfunktion bilde allerdings kommt bei mir dam schluss folgendes heraus:
angabe:
[mm] \integral_{\pi/3}^{0}{ \bruch{cos(3x)}{2}dx}
[/mm]
=
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{\pi/3}^{0}{cos(3x) dx}
[/mm]
=
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{\pi/3}^{0}{\bruch{1}{3}sin(3x) dx}
[/mm]
=
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}*\integral_{\pi/3}^{0}{sin(3x) dx}
[/mm]
=
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}*sin(3x) [/mm] + C
wie es zu 1/3*sin(3x) kommt hab ich übrigens verstanden...(substitutionsmethode)
und jetzt die Grenzen einsetzen! (ober minus unter) und ausrechnen oder?
lg und danke für eure hilfe
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> also gut, ich hab es jz auch schon soweit zusammen
> gebracht, dass ich die Stammfunktion bilde allerdings kommt
> bei mir dam schluss folgendes heraus:
>
> angabe:
> [mm]\integral_{\pi/3}^{0}{ \bruch{cos(3x)}{2}dx}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{\pi/3}^{0}{cos(3x) dx}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{\pi/3}^{0}{\bruch{1}{3}sin(3x) dx}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}*\integral_{\pi/3}^{0}{sin(3x) dx}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}*sin(3x)[/mm] + C
das +c entfällt bei bestimmten integralen
>
> wie es zu 1/3*sin(3x) kommt hab ich übrigens
> verstanden...(substitutionsmethode)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und jetzt die Grenzen einsetzen! (ober minus unter) und
> ausrechnen oder?
>
> lg und danke für eure hilfe
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Mi 24.06.2009 | | Autor: | flo0 |
es sollte übrigens die Obergrenze [mm] \pi/3 [/mm] sein und die Untergrenze 0 sein!
bei mir kommt da aber nicht das richtige raus
0.009133944 raus
=(
lg
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> es sollte übrigens die Obergrenze [mm]\pi/3[/mm] sein und die
> Untergrenze 0 sein!
>
> bei mir kommt da aber nicht das richtige raus
>
> 0.009133944 raus
dann hast du aber einen schlechten taschenrechner! oder gerundet, wo man es nicht tun sollte?!
wenn du aber die obergrenze einsetzt, kommst du ja zu [mm] c*sin(\pi), [/mm] und dass das 0 ergibt, sollte klar sein ;)
mit der unteren grenze 0 ergibt das c*sin(0), was auch 0 ergibt.
ergo ist die fläche: 0-0 = 0
> =(
>
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Mi 24.06.2009 | | Autor: | flo0 |
c ist in dem fall 1/6 oder ?
lg
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> c ist in dem fall 1/6 oder ?
richtig!  ich war nur zu faul zurückzublättern bzw. mich zu erinnern
>
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Mi 24.06.2009 | | Autor: | flo0 |
alles klar! vielen dank =)
lg
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
partielle