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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 So 28.06.2009 | | Autor: | cooly |
| Aufgabe | Berechnen Sie im Fall der Existenz das Integral:
[mm] \integral_{-1}^{1}{x^{4} * (1+x^{5})^{3/2} dx} [/mm] |
Hallo,
ich beschäftige mich zur Zeit mit der Integralrechnung und verstehe dabei jedoch die Substiutionsregel sowie die Partielle Integration noch nicht ganz.
U.a. ist meine Frage, wann ich erkenne, welche der beiden Regeln anzuwenden ist.
Bei der o.g. Aufgabe würde ich wie foglt vorgehen:
[mm] \integral_{-1}^{1}{x^{4} * (1+x^{5})^{3/2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5} \integral_{-1}^{1}{5x^{4} * (1+x^{5})^{3/2} dx}
[/mm]
u = g(x) = 1 + [mm] x^{5}
[/mm]
du = g'(x) = 5 [mm] x^{4} [/mm] dx
= [mm] \bruch{1}{5} \integral_{g(-1)}^{g(1)}{u^{3/2}} [/mm] = ... = [mm] \bruch{1}{5} [/mm] * [mm] [\bruch{2}{5} u^{5/2}] [/mm] von 0 bis 2
Wäre diese Vorgehensweise bei der Aufgabe mit dem Subsitutuieren korrekt?
Danke
cooly
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 So 28.06.2009 | | Autor: | cooly |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{1}^{4}{e^{-\wurzel{x}} dx} [/mm] |
Danke für die Antwort.
Sollte ich bei dem oben genannten Integral auch die Substitutionsregel anwenden? Leider komme ich bei dieser Aufgabe icht weiter,da ich nicht weiß, wie ich den Termn umformen soll...
Danke
cooly
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 So 28.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> [mm]\integral_{1}^{4}{e^{-\wurzel{x}} dx}[/mm]
> Danke für die Antwort.
>
> Sollte ich bei dem oben genannten Integral auch die
> Substitutionsregel anwenden? Leider komme ich bei dieser
> Aufgabe icht weiter,da ich nicht weiß, wie ich den Termn
> umformen soll...
Substituiere doch mal [mm] t:=\sqrt{x}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Do 02.07.2009 | | Autor: | cooly |
Ich verstehe nicht ganz, wie ich dort die Substiutionsregel anwenden soll.
Ansich dachte ich, dass man die Regel nur anwenden darf, wenn die Variable der Ableitung des Substituierten bereits im Term ist.
Bsp. zum Aufleiten:
[mm] (3x+4)^{2} [/mm] kann man substituieren (und die konstante 3 ergänzen).
[mm] (3x^{2}+4)^{2} [/mm] könnte man nicht substituieren. Es wäre erst möglich, wenn folgendes stehen würde;
x * [mm] (3x^{2}+4)^{2}
[/mm]
Und wenn ich in der Aufgabe - Wurzel x ableiten, bleibt die Variable (1/2 [mm] \wurzel{x}) [/mm] stehen?
Wie kann man dabei die Substitutionsregel anwenden?
Danke im Voraus.
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> Und wenn ich in der Aufgabe - Wurzel x ableiten, bleibt die
> Variable (1/2 [mm]\wurzel{x})[/mm] stehen?
>
> Wie kann man dabei die Substitutionsregel anwenden?
Hallo,
mal ein bißchen kochrezeptartig:
Du wollst berechnen [mm] \integral e^{-\wurzel{x}}dx, [/mm] und hierfür [mm] t=\wurzel{x} [/mm] substituieren.
[mm] t=\wurzel{x},
[/mm]
also
[mm] x=t^2
[/mm]
[mm] \bruch{dx}{dt}=2t,
[/mm]
also
dx=2t*dt
Ersetze nun im Integral [mm] \wurzel{x} [/mm] durch t und dx durch 2t*dt.
Du erhältst ein Integral, welches Du mit partieller Integration lösen kannst oder schonmal gelöst hast.
Falls Du mit Grenzen rechnen (also am Ende nicht Rücksubstituieren) möchtest, mußt Du aus Deinen x-Grenzen 1 und 4 t-Grenzen machen:
1--> [mm] \wurzel{1}=1
[/mm]
4 --> [mm] \wurzel{4}=2
[/mm]
Gruß v Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Fr 03.07.2009 | | Autor: | cooly |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{x}{1+x} dx} [/mm] |
Ich habe noch eine Frage zur Integrakrechnung bei der o.g. Aufgabe.
Ich habe versucht das Integral mit Hilfe der partiellen Integration zu bestimmen:
Jedoch kam ich dabei auf das Ergebnis, dass ich ln (1+x) aufleiten sollte, was nicht geklappt hat.
Das Zwischenergebnis sah dann wie folgt aus:
[x * ln (1+x)] - [mm] \integral_{0}^{1}{ln (1+x) dx}
[/mm]
Muss man bei der Aufgabe nicht die partielle Integration verwenden oder habe ich sie falsch angwendet?
Vielen Dank!
Gruß
cooly
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Hallo cooly,
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{x}{1+x} dx}[/mm]
> Ich habe noch eine
> Frage zur Integrakrechnung bei der o.g. Aufgabe.
>
> Ich habe versucht das Integral mit Hilfe der partiellen
> Integration zu bestimmen:
>
> Jedoch kam ich dabei auf das Ergebnis, dass ich ln (1+x)
> aufleiten sollte, was nicht geklappt hat.
>
> Das Zwischenergebnis sah dann wie folgt aus:
>
> [x * ln (1+x)] - [mm]\integral_{0}^{1}{ln (1+x) dx}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hier müsstest du nun das verbleibende Integral nochmals mit partieller Integration erschlagen.
Dzu schreibe [mm] $\int{\ln(x+1) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \int{1\cdot{}\ln(x+1) \ dx}$
[/mm]
Dein Weg ist durchaus gangbar, aber etwas mühselig, du machst dir zuviel Arbeit.
Wenn du im Ausgangsbruch mal eine Polynomdivision machst oder geschickt umformst, siehst du die (eine) Stammfunktion direkt.
Der "Trick", den es sich lohnt zu merken, besteht darin, eine "nahrhafte Null" zu addieren:
[mm] $\frac{x}{x+1}=\frac{x+\overbrace{\red{1-1}}^{=0}}{x+1}=\frac{(x+1)-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$
[/mm]
Damit hast du [mm] $\int{\frac{x}{x+1} \ dx}=\int{\left(1-\frac{1}{x+1}\right) \ dx}=\int{1 \ dx} [/mm] \ - \ [mm] \int{\frac{1}{x+1} \ dx}$
[/mm]
Und das ist doch bedeutend bequemer ...
>
> Muss man bei der Aufgabe nicht die partielle Integration
> verwenden oder habe ich sie falsch angwendet?
Du musst nicht, hast alles bisher richtig gemacht, bist aber noch nicht fertig 
Bedenke aber unbedingt auch die alternative Herangehensweise ...
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
> cooly
LG
schachuzipus
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