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| Aufgabe | Berechne Integral durch geeignete Substitution
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x^2}{\wurzel{1+x^3}} dx} [/mm] |
Hallo,
Ich habe noch einige Schwierigkeiten im Umgang mit Integralen. Allgemein gesagt, weiß ich immer nicht wo rauf ich hinarbeiten muss damit das Integral gelöst werden kann.
Wir haben bislang partitielle Integration, Substitution und Partialbruchzerlegung gehabt. Da find ich es auch immer schwer zu sagen, welche Methode man bei welchen Integralen benutzen sollte.
Vllt könnte mir jemand die von mir beschriebene Aufgabe vorrechnen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:16 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo raised.fist!
"Vorrechnen" ist hier nicht ...
Bei diesem Integral kommst Du mittels Substitution weiter. Das kann man z.B. daran erkennen, dass im Zähler des Bruches fast exakt (von ei nem konstanten Faktor abgesehen) die Ableitung des Radikanden steht.
Substituiere hier also: $z \ := \ [mm] 1+x^3$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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ok, aber nur weil im Zähler de Bruches x² und im Nenner x³ steht seh ich das man 1+x³ substituieren soll? Das wirkt mir irgendwie zusammenhanglos.
Ich mein weder die Ableitung von [mm] \wurzel{1+x³} [/mm] oder 1+x³ oder von x³ ergibt x².
Gibt es nicht noch andere Merkmale?
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Hallo Olli,
> ok, aber nur weil im Zähler de Bruches x² und im Nenner
> x³ steht seh ich das man 1+x³ substituieren soll? Das
> wirkt mir irgendwie zusammenhanglos.
Wenn du mehrere Substitutionen gerechnet hast, wird dir das leichter fallen ...
>
> Ich mein weder die Ableitung von [mm]\wurzel{1+x³}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
oder 1+x³
> oder von x³ ergibt x².
Du solltest auch den Radikanten substituieren!!
Weißt du nicht, was das ist?
Das ist der Term unter der Wurzel.
Also $u=u(x):=1+x^3\Rightarrow u'(x)=\frac{du}{dx}=3x^2$
Also $dx=\frac{du}{3x^2}$
Damit $\int{\frac{x^2}{\sqrt{1+x^3}} \ dx}=\int{\frac{x^2}{\sqrt{u}} \ \frac{du}{3x^2}$
Nun kürzen: $=\frac{1}{3}\int{\frac{1}{\sqrt{u}} \ du}$
Und das kannst du doch mit links lösen...
Gruß
schachuzipus
>
> Gibt es nicht noch andere Merkmale?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Sa 01.05.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
zu erkennen, wie du integrieren musst erfordert einfach Übung. Es gibt einen schönen Spruch aus einem Einführungskurs in die Mathematik auf universitärem Niveau, der lautet
"Ableiten ist Arbeit, Integrieren ist Kunst." Ein bisschen ist es wirklich so, wobei Integration Funktionen oftmals einfacher machen kann, wohingegen ableiten auch zu ganz fiesen, unschönen Ausdrücken führt.
Lg
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