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| Aufgabe | Berechnen Sie den Wert:
[mm] \integral_{0}^{0.5}{x*\wurzel[]{1-x^2} dx}
[/mm]
Substituieren Sie x=sin(u)! |
Hallo Matheraum-Gemeinde,
folgendes bis jetzt gemacht
mit x=sin(u) folgt: dx=cos(u)du
dann gilt:
[mm] int{sin(u)*sqrt[1-sin^2(u)]*cus(u)*du} [/mm]
also ist:
[mm] int{sin(u)*cos^2(u)*du} [/mm] weil [mm] sqrt[1-sin^2(u)] [/mm] = cos(u) ist !
mit z=cos(u) folgt: dz= -sin(u)du
dann ergibt sich:
[mm] int{-z^2*dz} [/mm] in den Grenzen von 0 bis 0,5;
= - [mm] (1/3)*z^3 [/mm]
= - [mm] (1/3)*[cos^3(u)] [/mm]
= - [mm] (1/3)*{sqrt[1-sin^2(u)]}^3 [/mm]
= - [mm] (1/3)*sqrt{[1-x^2]^3} [/mm] in den Grenzen von 0 bis 0,5;
= 0,1168269
Meine Frage,
warum komme ich auf die richtige Lösung, wenn ich nur mit
int{-z^2dz} integriere und rücksubstituere anstatt mit int{sin(u)*-z^2dz}
= int{-z^3dz} ???
Danke für eure Hilfe
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> Berechnen Sie den Wert:
>
> [mm]\integral_{0}^{0.5}{x*\wurzel[]{1-x^2} dx}[/mm]
>
> Substituieren Sie x=sin(u)!
Hallo marco-san,
ich finde, dass die vorgeschlagene Substitution für das
vorliegende Integral nicht sinnvoll ist, weil es jedenfalls
deutlich einfacher geht mit der Substitution [mm] z=1-x^2 [/mm] .
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Do 17.06.2010 | | Autor: | marco-san |
Hallo Al-Chwarizmi,
die Aufgabe lautet aber dies mit der in der Aufgabe gegebenen Substitution zu bearbeiten. Sonst wäre ich auch deutlich besser damit klar gekommen.
Gruss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Do 17.06.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Könntest du vielleicht deinen Artikel auch anständig formatieren?
Das macht das Lesen einfacher, und man weiß, was du willst.
Und ausdrücke wie [mm] \integral{sin(u)*-z^2dz} [/mm] machen auch keinen Sinn.....
MFG,
Gono.
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Hallo,
du solltest wahrlich den Formeleditor benutzen und dein Geschreibsel vor dem Absenden mit der Vorschaufunktion mal kontrollieren und ggfs. verbessern ...
So ist das eine Zumutung für jeden Leser - schließlich willst du Hilfe, da ist es doch nicht zuviel verlangt, sein Anliegen leserlich zu posten ...
Echt ...
![[motz]](/images/smileys/motz.gif "[motz]")
> Berechnen Sie den Wert:
>
> [mm]\integral_{0}^{0.5}{x*\wurzel[]{1-x^2} dx}[/mm]
>
> Substituieren Sie x=sin(u)!
> Hallo Matheraum-Gemeinde,
>
> folgendes bis jetzt gemacht
>
> mit x=sin(u) folgt: dx=cos(u)du
> dann gilt:
> [mm]int{sin(u)*sqrt[1-sin^2(u)]*cus(u)*du}[/mm]
> also ist:
> [mm]int{sin(u)*cos^2(u)*du}[/mm] weil [mm]sqrt[1-sin^2(u)][/mm] = cos(u) ist
> !
>
> mit z=cos(u) folgt: dz= -sin(u)du
Also [mm] $du=-\frac{dz}{\sin(u)}$
[/mm]
Du willst ja du ersetzen!!
> dann ergibt sich:
> [mm]int{-z^2*dz}[/mm] in den Grenzen von 0 bis 0,5;
>
> = - [mm](1/3)*z^3[/mm]
> = - [mm](1/3)*[cos^3(u)][/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> = - [mm](1/3)*{sqrt[1-sin^2(u)]}^3[/mm]
> = - [mm](1/3)*sqrt{[1-x^2]^3}[/mm] in den Grenzen von 0 bis 0,5;
> = 0,1168269
etwa richtig ...
>
> Meine Frage,
>
> warum komme ich auf die richtige Lösung, wenn ich nur mit
> int{-z^2dz} integriere und rücksubstituere anstatt mit
> int{sin(u)*-z^2dz}
Wie kommst du auf diesen Ausdruck?
Wenn du wie oben geschildert [mm] $z=\cos(u)$ [/mm] substituierst, ergibt sich [mm] $du=-\frac{dz}{\sin(u)}$
[/mm]
Das [mm] $\sin(u)$ [/mm] im Integral kürzt sich also weg ...
>
> = int{-z^3dz} ???
Was genau meinst du?
Bei welcher Rechnung kommst du auf ein falsches Ergebnis.
Ich sehe nur eine etwas umständliche, aber richtige Rechnung ...
Vllt. kannst du mal klar formulieren, was dein Anliegen ist ...
Ich habe zwar meine Tarotkarten ausgelegt (die Sterne lügen nicht ..."), aber stimmt meine Vermutung bzgl. deiner Frage?
>
> Danke für eure Hilfe
Gruß
schachuzipus
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