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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:42 Fr 29.10.2010 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Wert
[mm] a)\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{cos(x)}{ \wurzel{sin(x)}}dx}
[/mm]
[mm] b)\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{(x^2+1)^3} dx} [/mm] |
Hallo,
die eins habe ich schon gemacht und bei der 2 komme ich irgendwie nicht weiter. Wäre super, wenn jemand drüber schauen könnte.
zu a)
Mit der Substitution: t=sin(x) dt/dx=cos(x)
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{cos(x)}{ \wurzel{sin(x)}}dx}= \limes_{a\rightarrow\ 0}\integral_{sin(a)}^{sin\bruch{\pi}{2}}{\bruch{1}{\wurzel{t} }dt}=\limes_{a\rightarrow\ 0} [/mm] 2 [mm] \wurzel{t}
[/mm]
jetzt muss ich die Grenzen einsetzen (weis leider nicht wie man das hier formel aufschreibt)
= [mm] \limes_{a\rightarrow\0} [/mm] [2-2 [mm] \wurzel{sin(a)}]=2
[/mm]
stimmt das so?
zu b)
hier wollte ich das selbe anwenden
[mm] u=x^2+1 [/mm] du/dx=2x
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{(u)^3}*\bruch{1}{2x} du} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{(2u)^3} du}
[/mm]
und weiter komme ich irgendwie nicht :S
wäre um jeden Tipp dankbar
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Fr 29.10.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo Rainer,
danke erstmal für deine schnelle und sehr hilfreiche Antwort 
ich habe bei der b) so weiter gemacht:
[mm] =\bruch{1}{2}\integral_{0}^{R^2+1}{\bruch{1}{u^3} dx}=\bruch{1}{2} ln(u^3)\Bigr|^{R^2+1^}_{\1} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{2} ln((R^2+1)^3))
[/mm]
denn Teil mit der unteren Grenze brauche ich nicht da ln(1)=0 ist
ist das so richtig?
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Fr 29.10.2010 | | Autor: | melisa1 |
Hallo nochmal,
hab jetzt für die Stammfunktion: [mm] -\bruch{1}{2}x^2
[/mm]
daraus folgt:
[mm] \bruch{1}{2}*(-\bruch{1}{2}*x^2)
[/mm]
wenn ich die grenzen einsetze habe ich dann
[mm] \bruch{1}{2}*(-\bruch{1}{2}(R^2+1))+\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] =-\bruch{R^2}{4}
[/mm]
ich hoffe diesmal stimmts :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Fr 29.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Melisa!
> Hallo nochmal,
>
> hab jetzt für die Stammfunktion: [mm]-\bruch{1}{2}x^2[/mm]
Nein, die Stammfunktion ist [mm] $-\bruch{1}{2}u^{\red{-}2}$.
[/mm]
(und vergiss nicht, am Ende den Limes [mm] $R\to \infty$ [/mm] zu bilden)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Fr 29.10.2010 | | Autor: | melisa1 |
ok dann nochmal:
wenn wir die Grenzen nun einsetzen erhalten wir:
[mm] \limes_{R\rightarrow\infty} [(\bruch{1}{2}*(-\bruch{1}{2(R^2+1)^2})]+1/4
[/mm]
der teil in den [] strebt für [mm] \limes_{R\rightarrow\infty} [/mm] gegen 0 also ist der Wert 1/4
aber ich bin mir nicht ganz sicher ob es nicht -1/4 ist da es eigentlich gegen -0,00000.... strebt
oder?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Fr 29.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ok dann nochmal:
>
> wenn wir die Grenzen nun einsetzen erhalten wir:
>
> [mm]\limes_{R\rightarrow\infty} [(\bruch{1}{2}*(-\bruch{1}{2(R^2+1)^2})]+1/4[/mm]
>
>
> der teil in den [] strebt für [mm]\limes_{R\rightarrow\infty}[/mm]
> gegen 0 also ist der Wert 1/4
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber ich bin mir nicht ganz sicher ob es nicht -1/4 ist da
> es eigentlich gegen -0,00000.... strebt
0 ist 0, da gibt's kein Vorzeichen, egal ob der Grenzwert von links oder von rechts angenähert wird.
Und dann addierst du: 0+1/4 = 1/4 .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Fr 29.10.2010 | | Autor: | melisa1 |
super danke für deine tolle Hilfe!
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
