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| Aufgabe | | Der Mittelwert der auf [a,b] integrierbaren Funktion f(x) ist [mm] M=\bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{f(x) dx}. [/mm] Bestimmte den Mittelwert M für die Funktionen: [mm] f_1(x)=sinx [/mm] auf [mm] [a,b]=[0,\pi], f_2(x)=x^2 [/mm] auf [a,b]=[0,1] und [mm] f_3(x)=\begin{cases} 1, x\ge0 \\ -1, x<0 \end{cases} [/mm] auf [a,b]=[-1,1]. Kann man für jede von diesen Funktionen ein [mm] \xi \in [/mm] (a,b) finden so dass [mm] f(\xi)=M [/mm] ist? |
Die Frage am Ende werde ich versuchen abschließend zu beantworten. Zunächst einmal sollte es um die Rechnungen gehen. Ich fange ersteinmal mit der ersten Funktion an:
1. $ [mm] M=\bruch{1}{\pi-0}\integral_{0}^{\pi}{sinx dx}= \bruch{1}{\pi-0}*[-cos]_{0}^{\pi}=0$
[/mm]
Ist das soweit richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Mi 04.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) anschaulich: die Flaeche unter sinx zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] ist nicht 0 da der sin pos. ist.
b) was ist denn [mm] -cos(\pi)-(-cos(0)?
[/mm]
Gruss leduart
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Oh...du hast natürlich recht:
$ [mm] M=\bruch{1}{\pi-0}\integral_{0}^{\pi}{sinx dx}= \bruch{1}{\pi-0}\cdot{}[-cos]_{0}^{\pi}=\bruch{2}{\pi} [/mm] $
So sollte das stimmen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Mi 04.02.2009 | | Autor: | leduart |
JA
Gruss leduart
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$ [mm] M_1=\bruch{1}{\pi-0}\integral_{0}^{\pi}{sinx dx}= \bruch{1}{\pi-0}\cdot{}[-cos]_{0}^{\pi}=\bruch{2}{\pi} [/mm] $
Jetzt noch die beiden nächsten Aufgabe:
[mm] M_2=\bruch{1}{1-0}\integral_{0}^{1}x^2=1
[/mm]
[mm] M_3=\bruch{1}{-1-1}\integral_{-1}^{1}1= [/mm] [x + [mm] C]_{-1}^{1}=2 [/mm] ;für [mm] x\ge [/mm] 0
[mm] M_3=\bruch{1}{-1-1}\integral_{-1}^{1}-1= [/mm] [-x + [mm] C]_{-1}^{1}=0 [/mm] ;für x < 0
Ist das soweit richtig? Wenn ja, würde ich dann die letzte Frage anpacken: "Kann man für jede von diesen Funktionen ein [mm] \xi \in [/mm] (a,b) finden, so dass [mm] f(\xi)=M [/mm] ist?"
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 04.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest deine Zwischenergebnisse hinschreiben.
[mm] \integral_{0}^{1}{x^2 dx}\ne [/mm] 1
was ist die Stammfkt von [mm] x^6
[/mm]
die dritte Fkt: du musst das Integral ueber das ganze Stueck nehmen, und es unterteilen von -1 bis 0 und 0 bis -1
oder die 2 Integrale einzeln ausrechnen , addieren und dann durch die Intervalllaenge teilen. die ist nich -1-1 sondern 1-(-1)=2
Du hast ja EINE Funktion, die aber links und rechts von 0 verschieden definiert ist.
ausserdem ist das letzte integral auch falsch ausgerechnet.
So Fehler vermeidest du, indem du dir die fkt skizzierst und die Flaechen, die ausgerechnet werden ansiehst!
Gruss leduart
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Danke für die Hinweise.
$ [mm] M_2=\bruch{1}{1-0}\integral_{0}^{1}x^2=[\bruch{x^3}{3}]_{0}^{1}=\bruch{1}{3} [/mm] $
$ [mm] M_3=\bruch{1}{-1-1}\integral_{-1}^{1}1= [/mm] $ [x + $ [mm] C]_{-1}^{1}=2 [/mm] $ ;für $ [mm] x\ge [/mm] $ 0
$ [mm] M_3=\bruch{1}{-1-1}\integral_{-1}^{1}-1= [/mm] $ [-x + $ [mm] C]_{-1}^{1}=-2 [/mm] $ ;für x < 0
Jetzt sollte das richtig sein, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Blech |
> Danke für die Hinweise.
>
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> [mm]M_2=\bruch{1}{1-0}\integral_{0}^{1}x^2=[\bruch{x^3}{3}]_{0}^{1}=\bruch{1}{3}[/mm]
Richtig. Aber es ist [mm] $\int_0^1 x^2\ [/mm] dx$. Du solltest immer dazuschreiben, über was Du denn integrierst, weil Dir dann auch Sachen auffallen wie:
> [mm]M_3=\bruch{1}{-1-1}\integral_{-1}^{1}1=[/mm] [x + [mm]C]_{-1}^{1}=2[/mm]
> ;für [mm]x\ge[/mm] 0
Also, Du integrierst hier über x von -1 bis 1 und setzt dabei zugleich voraus, daß [mm] $x\geq [/mm] 0$? Außerdem hängt Dein [mm] $M_3$ [/mm] ja nicht mehr von x ab, also hat die Einschränkung [mm] $x\geq [/mm] 0$ gar keinen Effekt.
>
> [mm]M_3=\bruch{1}{-1-1}\integral_{-1}^{1}-1=[/mm] [-x +
> [mm]C]_{-1}^{1}=-2[/mm] ;für x < 0
Ebenso. Damit folgt dann, daß [mm] $-2=M_3=2$. [/mm] Ich kenne einige Banken, die großes Interesse an Deiner Arbeit hätten. =)
(Außerdem stimmen im Bruch vor dem Integral die Vorzeichen nicht. b=1, a=-1)
> Jetzt sollte das richtig sein, richtig?
Welches von beiden denn?
Du hast *eine* Funktion [mm] $f_3$, [/mm] für die Du *einen* Mittelwert ausrechnen sollst. Auf dem Intervall [-1;1] ist sie von -1 bis 0 gleich -1 und auf dem Teilstück von 0 bis 1 ist sie gleich 1.
Jetzt zeichnest Du Dir das ganze mal auf, wie von leduart schon vorgeschlagen, und überlegst Dir dann welchen Wert das Integral da haben muß.
ciao
Stefan
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Danke für die ausführliche Antwort!
> Du hast *eine* Funktion [mm]f_3[/mm], für die Du *einen* Mittelwert
> ausrechnen sollst. Auf dem Intervall [-1;1] ist sie von -1
> bis 0 gleich -1 und auf dem Teilstück von 0 bis 1 ist sie
> gleich 1.
>
> Jetzt zeichnest Du Dir das ganze mal auf, wie von leduart
> schon vorgeschlagen, und überlegst Dir dann welchen Wert
> das Integral da haben muß.
Also ist der Mittelwert beider Funktionen dann 0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Blech |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Also ist der Mittelwert beider Funktionen dann 0?
>
Ja. Jetzt mußt Du dafür nur noch eine saubere Rechnung hinschreiben.
$\int_{-1}^1 f(x)\ dx= \underbrace{\int_{-1}^0 f(x)\ dx}_{\text{Hier ist x immer }<0}} + \underbrace{\int_0^1 f(x)\ dx}_{\text{Hier ist x immer }\geq 0}}=\ldots$
*Jetzt* ist die Funktion in beiden Integralen immer konstant.
ciao
Stefan
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| Aufgabe | | Kann man für jede von diesen Funktionen ein $ [mm] \xi \in [/mm] $ (a,b) finden so dass $ [mm] f(\xi)=M [/mm] $ ist? |
Ich bräuchte jetzt noch Hilfe bei der letzten Aufgabe. Ehrlich gesagt verstehe ich nicht was damit gemeint ist, kannst du mir das vielleicht mal übersetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:39 Do 05.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Beispiel die zwite fkt. die Frage ist
gibt es ein [mm] f(\xi)=M [/mm] hier also : gibt es ein [mm] \xi^2=1/3 [/mm] und [mm] 0\le\xi\le [/mm] 1
das ist ja leicht zu loesen. dasselbe mit den 2 anderen funktionen.
du kannst einfach antworten ja, denn... oder Nein, denn..
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:47 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Allgemein gilt folgendes:
$ [mm] M=\bruch{1}{b-a}\integral_{a}^{b}{f(x) dx}. [/mm] $
Ist f auf [a,b] stetig, so ex.
u:= min{f(x): x [mm] \in [/mm] [a,b]} und v:= max{f(x): x [mm] \in [/mm] [a,b]},
also
u [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] v für jedes x in [a,b],
folglich:
$u(b-a) = [mm] \integral_{a}^{b}{u dx}\le \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \le \integral_{a}^{b}{v dx} [/mm] = v(b-a)$
Damit: u [mm] \le [/mm] M [mm] \le [/mm] v. Der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen besagt nun:
es ex. ein $ [mm] \xi \in [/mm] $ [a,b] , so dass $ [mm] f(\xi)=M [/mm] $
Für unstetige Funktionen gilt das nicht, wie [mm] f_3 [/mm] zeigt.
FRED
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Puh, ich bin jetzt etwas überfordert. Welchen Weg sollte ich für diesen letzten Schritt gehen? Reicht der von Leduart vorgeschlagene Weg oder ist eine Beweisführung wie Fred durchgeführt hat notwendig?
> Damit: u [mm]\le[/mm] M [mm]\le[/mm] v. Der Zwischenwertsatz für stetige
> Funktionen besagt nun:
>
> es ex. ein [mm]\xi \in[/mm] [a,b] , so dass [mm]f(\xi)=M[/mm]
Meintest du hier, dass ein [mm]\xi \in[/mm] (a,b) ex., so dass [mm]f(\xi)=M[/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich wollte Dich nicht verwirren. Was ich schrieb , sollte eigentlich nur eine Information sein.
Machen wir es "zu Fuß":
1. Bei [mm] f_1 [/mm] ist M = 1/3. Gibt es nun ei [mm] \xi \in [/mm] (0,1) mit [mm] f_1(\xi) [/mm] = 1/3 ? Na klar.
[mm] f_1(\xi) [/mm] = 1/3 [mm] \gdw \xi^2 [/mm] = 1/3 [mm] \gdw [/mm] = [mm] \xi [/mm] = [mm] \wurzel[]{1/3}
[/mm]
2. Bei [mm] f_2 [/mm] ist M = [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] ( also 0<M<1)
Dieser Wert wird vom Sinus im Intervall (0, [mm] \pi) [/mm] angenommen: [mm] \xi [/mm] = $arcsin(M)$
3. Bei [mm] f_3 [/mm] ist M=0. Dieser Wert wird von [mm] f_3 [/mm] nicht angenommen ! [mm] f_3 [/mm] ist nicht stetig !!
FRED
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Aha, verstehe. Danke für die tatkräftige Unterstützung!
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| Aufgabe | | Sei durch [mm] f:[a,b]\to\IR [/mm] mit [mm] f\not\equiv0 [/mm] gegeben. Zeige, dass es ein [mm] [c,d]\subset[a,b] [/mm] existiert, so dass [mm] \integral_{c}^{d}{f(x) dx\not=0} [/mm] gilt |
Ich habe eben gerade noch diese dazugehörige Aufgabe leider etwas zu spät entdeckt und bräuchte diesbezüglich nochmal eure Hilfe.
Wenn ich richtig verstanden habe, soll ich hier für jede einzelne Funktion nochmal ein Funktion im Intervall [mm] [c,d]\subset[a,b] [/mm] aufstellen, die ungleich 0 ist. Ich könnte mir theoretisch von jeder Funktion ein Intervall auspicken, wo diese Bedingung so gegeben wäre und müsste anschließend nur noch das Integral ausrechnen. Ist die Überlegung soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei durch [mm]f:[a,b]\to\IR[/mm] mit [mm]f\not\equiv0[/mm] gegeben. Zeige,
> dass es ein [mm][c,d]\subset[a,b][/mm] existiert, so dass
> [mm]\integral_{c}^{d}{f(x) dx\not=0}[/mm] gilt
Diese Aussage ist falsch !!!!
Sei z.B. f(x) =1 für x=a und f(x) = 0 für x [mm] \in [/mm] (a,b]
Dann ist $ [mm] f\not\equiv0 [/mm] $ und
[mm] \integral_{c}^{d}{f(x) dx} [/mm] = 0 für jedes intervall [c,d] [mm] \subseteq [/mm] [a,b].
Hast Du uns eine Voraussetzung verschwiegen ? z.B. f stetig auf [a,b]
FRED
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Mh...mehr steht da nicht. Die voherige Aufgabe war die Aufgabe a) und die jetzt genannte soll die Aufgabe b) darstellen. Vielleicht gehört das dann doch nicht ganz dazu und ist eine davon unabhängige Aufgabe....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Mh...mehr steht da nicht. Die voherige Aufgabe war die
> Aufgabe a) und die jetzt genannte soll die Aufgabe b)
> darstellen. Vielleicht gehört das dann doch nicht ganz dazu
> und ist eine davon unabhängige Aufgabe....
Das ist auch egal. Man kann es drehen und wenden wie man will, die obige Aussage ist falsch.
Mittlerweile(s.u.) habe ich Dir gezeigt, dass es für stetiges f richtig ist.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Für stetiges f ist die Aussage richtig:
Es ex. ein t [mm] \in [/mm] [a,b] mit f(t) [mm] \not= [/mm] 0. Wir können u: = f(t) > 0 annehmen (der Fall <0 geht genauso).
Da f stetig ist, gibt es ein Intervall [c,d] [mm] \subseteq [/mm] [a,b] mit t [mm] \in [/mm] [c,d] und c<d und
f(x) [mm] \ge [/mm] u/2 für x in [c,d]
Dann:
[mm] \integral_{c}^{d}{f(x) dx} \ge \integral_{c}^{d}{\bruch{u}{2}dx} [/mm] = [mm] (d-c)\bruch{u}{2} [/mm] > 0
FRED
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