Integralrechnung im R^n die 2. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Do 24.07.2008 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | | Sei D = [0,1]x[0,2]x[0,3] . Berechne [mm] \integral_{D}{f(x) dxdydz} [/mm] für f(x,y,z)= [mm] z^2*(x^2-z*y^2) [/mm] |
hier habe ich als lösung -48 heraus. stimmt das soweit ?
und dann mal die frage. kann ich immer so integrieren, oder muss ich den Körper(Kreisscheibe, Quader, etc) beachten ? also gelten da andere integrationsregeln ?
sorry für die nervigen fragen aber das thema irritiert mich irgendwie
mfg
möp
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo meep,
> Sei D = [0,1]x[0,2]x[0,3] . Berechne [mm]\integral_{D}{f(x) dxdydz}[/mm]
> für f(x,y,z)= [mm]z^2*(x^2-z*y^2)[/mm]
> hier habe ich als lösung -48 heraus. stimmt das soweit ?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, das erhalte ich auch
>
> und dann mal die frage. kann ich immer so integrieren, oder
> muss ich den Körper(Kreisscheibe, Quader, etc) beachten ?
> also gelten da andere integrationsregeln ?
Hmm, was genau meinst du?
Integrationsregeln sind Integrationsregeln, aber je komplizierter die Integrationsgebiete sind, desto schwieriger ist es im Allgemeinen, die Integrationsgrenzen zu bestimmen, aber wenn du über Kreise, Dreiecke, Rechtecke oder wie hier Quader integrierst, sind die Grenzen relativ einfach zu bestimmen
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> sorry für die nervigen fragen aber das thema irritiert mich
> irgendwie
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> mfg
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> möp
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Do 24.07.2008 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | | Sei [mm] B_r(0) [/mm] = {(x,y) [mm] \in R^2: x^2 [/mm] + [mm] y^2 \le r^2} [/mm] . Zeige [mm] \integral_{B_r(0)} [/mm] 1 dxdy = [mm] \pi*r^2 [/mm] |
Danke nochmals für die schnelle Hilfe schachuzipus :)
bei dem integral hab ich nach y und dann nach x integriert und bekomme dann ja x*y heraus. aber wie kann ich dann zeigen dass genau [mm] \pi*r^2 [/mm] herauskommt ? oder habe ich mich schon beim integral verrechnet oder was falsch gemacht ? und vor allem .. was wären überhaupt meine integrationsgrenzen ?
liebe grüße
meep
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Hallo nochmal,
> Sei [mm] B_r(0) [/mm] = [mm] \{(x,y) \in R^2: x^2 + y^2 \le r^2\} [/mm] . Zeige
> [mm]\integral_{B_r(0)}[/mm] 1 dxdy = [mm]\pi*r^2[/mm]
> Danke nochmals für die schnelle Hilfe schachuzipus :)
>
> bei dem integral hab ich nach y und dann nach x integriert
> und bekomme dann ja x*y heraus. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie und was hast du denn gerechnet?
Es ist immer ganz sinnvoll, wenn du deine Rechnung oder einen Teil derselben mitpostest, so kann man nur mutmaßen, was schiefgelaufen ist
> aber wie kann ich dann zeigen dass genau [mm]\pi*r^2[/mm] herauskommt ? oder habe ich mich
> schon beim integral verrechnet oder was falsch gemacht ?
> und vor allem .. was wären überhaupt meine
> integrationsgrenzen ?
In diesem Falle ist das Integrieren "geradeheraus" etwas mühselig, das beginnt beim Bestimmen der Grenzen.
Das Integrationsgebiet ist eine Kreisscheibe (mit Rand) um (0,0) mit Radius r, klar, oder?
Zeichne das doch mal auf, dann kannst du die Grenzen für x schon ablesen.
[mm] $-r\le x\le [/mm] r$
Die Grenzen für y hängen von x ab.
Für ein festes [mm] $x\in[-r,r]$ [/mm] ist wegen [mm] $x^2+y^2\le r^2$: $y^2\le r^2-x^2$
[/mm]
Also [mm] $-\sqrt{r^2-x^2}\le y\le\sqrt{r^2-x^2}$
[/mm]
Damit ist dann [mm] $\int\limits_D{1 \ d(x,y)}=\int\limits_{x=-r}^{x=r} [/mm] \ [mm] \int\limits_{y=-\sqrt{r^2-x^2}}^{y=\sqrt{r^2-x^2}}{1 \ dydx}$
[/mm]
Das ist recht mühsam zu berechnen ...
Einfacher ist es, wenn du in Polarkoordinaten rechnest, dann ergibt sich ein sehr einfaches Integral
Schaue mal im Skript nach der "Transformationsformel" und was du dabei beachten musst (Funktionaldeterminante..)
> liebe grüße
>
> meep
>
>
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:06 Do 24.07.2008 | | Autor: | meep |
danke, genau die aussage von dir hat mir unheimlich geholfen, nun weiss ich bescheid! der rest sollte dann nur noch rechenarbeit sein!
> Das Integrationsgebiet ist eine Kreisscheibe (mit Rand) um
> (0,0) mit Radius r, klar, oder?
>
> Zeichne das doch mal auf, dann kannst du die Grenzen für x
> schon ablesen.
>
> [mm]-r\le x\le r[/mm]
>
> Die Grenzen für y hängen von x ab.
>
> Für ein festes [mm]x\in[-r,r][/mm] ist wegen [mm]x^2+y^2\le r^2[/mm]: [mm]y^2\le r^2-x^2[/mm]
>
> Also [mm]-\sqrt{r^2-x^2}\le y\le\sqrt{r^2-x^2}[/mm]
mfg
meep
Edit:
habs wie du sagtest mit polarkoordinaten gemacht und es kam tatsächlich raus !
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