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Hallo liebe Leute aus dem Forum,
ich hab ein Problem beim lösen, dieser Aufgabe:
a) Zeichen Sie: [mm] \summe_{i=0}^{9}(\bruch{i}{2})^2*\bruch{1}{2} \approx \integral_{0}^{5}{x^2 dx}
[/mm]
b) Warum gilt stets das "Kleinerzeichen"?
c) Wie muss man den Summationsindex abändern, damit das "Größerzeichen" gilt?
n welchem Bereich bewegt sich dann der Fehler?
d) Wie kann die Näherung durch die Summe verbesser werden?
Ich weiß die Aufgabe ist richtig schwer, aber vielleicht weiß jemand von euch da eine Lösung.
Grüße Kiara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Sa 22.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie würdest du denn die Untersumme ausrechnen, wenn du das Intervall 0 bis 5 des integrals in 10 Teile teilst?
STell dir vor, die Aufgabe lautet, bestimme eine Näherung für
[mm] \integral_{0}^{5}{x^2 dx} [/mm] einmal durch die Untersumme (später durch Obersumme, indem du das Intervall in 10 Teile teilst.
Kannst du das?
Gruss leduart
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Hi,
erstmal nett von dir, dass du mir wieder hilfst. Also ich hab bis jetzt noch nie ein Intervall in 10 Teile teilen müssen, wie geht das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Sa 22.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
habt ihr für die Einführung von Integralen keine Unter- und Obersummen berechnet? Wenn man ein Intevall oder ein Stück Stoff der Länge 5 in 10 Teile teilt ist jedes 0,5 oder 1/2 lang!
ich zeig dirs mal für [mm] \integral_{0}^{2}{x^2 dx}
[/mm]
und zwar hab ich es in 4 Teile geteilt, jedes ist also 1/2 lang
[Dateianhang nicht öffentlich]
die Untersumme sind die unteren vier Treppenstufen, (die erste hat die Höhe 0
also gilt Immer Breite mal Höhe
[mm] 0^2*1/2+(1/2)^2*1/2+(2/2)^2*1/2+(3/2)^2*1/2<\integral_{0}^{2}{x^2 dx}
[/mm]
Die Summe bis zu den roten Stufen, -die Obersumme- kannst du jetzt hoffentlich selbst?
und dann machst du das entsprechend bis 5 statt bis 2!
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Die Obersumme bei deinem Beispiel ist ja dann:
[mm] 2^2*1/2 [/mm] + [mm] (3/2)^2*1/2 [/mm] + [mm] (2/2)^2*1/2 [/mm] + [mm] (1/2)^2*1/2 [/mm] aber ist das jetzt größer oder kleiner als das Integral? oich vermute mal kleiner, oder?
ist das so richtig?
Und wie bringe ich es mit dem Summenzeichen in verbindung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Sa 22.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst doch der Zeichnung direkt ansehen, welche Flächen kleiner bzw. größer sind als die unter der Parabel , und dass das Integral die Fläche unter der parabel ergibt weisst du doch? Wenn wir hier weiter machen sollen, musst du mal genau sagen, was du über Integrale weisst, bzw bisher gelernt hast.
Ich komm auch nicht mit deinem Profil zurecht, 16-18J, Grunstudium? bist du als Schülerin an der Uni? aber eigentlich macht man sowas in der 11. ten klasse Schule?
Gruss leduart
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Also, ich bin 18Jahre alt und im 1.Semester an einer Hochschule und ich habe in Mathe so ein Prof, der teilt nur Arbeitsblätter aus und gibt uns aber keine Lösungen zu den Aufgaben und in der Vorlesung macht er nur immer andere Themen, daher weiß ich zu Integral nur das von früher aus der Schule. und da ich kein Abitur habe sondern nur Fachhochschulreife, war bei uns das Thema Integral nicht so ausführlich, wie vlt. im Abitur. Verstehst du das?
Ja ich weiß, dass das Integral die Fläche unter der Parabel gibt. Also ist die Obersumme natürlich auch kleiner als die Fläche unter der Parabel. Ok hab ich verstanden.
Aber wenn ich jetzt die Unter- und Obersumme ausgerechnet habe (war ja richtig oder?) was mach ich dann? Die nächste Frage war ja "Warum gilt stets das "Kleinerzeichen?" Ist die Antwort, dass Summenzeichen nur von 0 bis 9 geht und daher nicht die ganze Fläche unter der Parabel ist und daher stets kleiner ist?
Grüße Kiara
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Hallo!
> Ja ich weiß, dass das Integral die Fläche unter der
> Parabel gibt. Also ist die Obersumme natürlich auch
> kleiner als die Fläche unter der Parabel. Ok hab ich
> verstanden.
???
Es heißt nicht umsonst "OBER"summe. Diese ist immer größer als das Integral.
Es gibt auch noch eine "UNTER"summe. Diese ist immer kleiner als das Integral.
> Aber wenn ich jetzt die Unter- und Obersumme ausgerechnet
> habe (war ja richtig oder?) was mach ich dann? Die nächste
> Frage war ja "Warum gilt stets das "Kleinerzeichen?" Ist
> die Antwort, dass Summenzeichen nur von 0 bis 9 geht und
> daher nicht die ganze Fläche unter der Parabel ist und
> daher stets kleiner ist?
Das musst du gerade damit begründen, dass mit der Summe eine Untersumme des Integrals berechnet wird!
Wir haben das Integral
[mm] \int_{0}^{5}x^{2}dx.
[/mm]
Nun die zugehörige Untersumme (Aufteilung des Intervalls [0,5] in n = 10 gleich breite Teilintervalle):
Für k = k = 0,...,9 definiere:
[mm] $x_{k} [/mm] := [mm] \frac{k}{n}*5 [/mm] = [mm] \frac{k}{2}$
[/mm]
Teilintervall: [mm] $\left[x_{k},x_{k+1}\right]$
[/mm]
Da die Funktion monoton wachsend ist, ist der kleinste Wert der Funktion in einem bestimmten dieser Intervalle immer am linken Intervallrand. Im Intervall [mm] [x_{k},x_{k+1}] [/mm] ist also der kleinste Funktionswert [mm] f(x_{k}). [/mm] Ist das klar?
Damit ergibt sich folgende Untersumme für das Integral:
[mm] $\int_{0}^{5}x^{2}dx\approx \sum_{k=0}^{9}\underbrace{f(x_{k})}_{Hoehe\ des\ Flaechenstreifens}*\underbrace{(x_{k+1}-x_{k})}_{Breite\ des\ Flaechenstreifens}$.
[/mm]
$= [mm] \sum_{k=0}^{9}f(\frac{k}{2})*(\frac{k+1}{2} [/mm] - [mm] \frac{k}{2}) [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{9}\left(\frac{k}{2}\right)^{2}*\frac{1}{2}$
[/mm]
Nun verdau' das erstmal 
Und denk mit diesem Wissen über die weiteren Aufgaben nach...
Grüße,
Stefan
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Vielen Dank Stefan für deine ausführliche Darstellung.
Okay also schreibe ich als Begründung, dass mit der Summe eine Untersumme des Integrals berechnet wird und diese kleiner als das Integral ist und nicht die ganze Fläche abdeckt ist.
Das die Funktion monoton wachsend ist hab ich gesehen (zeigt ja gut die grafik von Leduart). Und das derkleinste Funktionswert im linken Intervall ist ist mir auch klar.
Doch wie muss man den Summationsindex abändern, damit das "Größerzeichen" gilt?
Und in welchem Bereich bewegt sich dann der Fehler?
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Hallo!
> Vielen Dank Stefan für deine ausführliche Darstellung.
>
> Okay also schreibe ich als Begründung, dass mit der Summe
> eine Untersumme des Integrals berechnet wird und diese
> kleiner als das Integral ist und nicht die ganze Fläche
> abdeckt ist.
>
> Das die Funktion monoton wachsend ist hab ich gesehen
> (zeigt ja gut die grafik von Leduart). Und das derkleinste
> Funktionswert im linken Intervall ist ist mir auch klar.
>
> Doch wie muss man den Summationsindex abändern, damit das
> "Größerzeichen" gilt?
Berechne die Obersumme (nach demselben Muster, wie ich die Untersumme berechnet habe).
Schau dir diese dann genau an. Führe eine Indexverschiebung (k+1) --> k durch.
> Und in welchem Bereich bewegt sich dann der Fehler?
Da wir wissen, dass die Obersumme garantiert größer als das Integral, die Untersumme garantiert kleiner als das Integral ist, ist der maximale Fehler, der bei der Berechnung mit der Summe auftreten kann, "Obersumme - Untersumme".
Warum?
Grüße,
Stefan
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Hi, ja habe ich für meine Aufgabe gemacht.
Untersumme:
[mm] o^2*1/2+ (1/2)^2*1/2+ (2/2)^2*1/2+ (3/2)^2*1/2+(4/2)^2*1/2+(5/2)^2*1/2+ (6/2)^2*1/2+ (7/2)^2*1/2+ (8/2)^2*1/2+ (9/2)^2*1/2 [/mm] < [mm] \integral_{0}^{5}{x^2 dx} [/mm] = 35 5/8
Obersumme:
[mm] (10/2)^2*1/2+ (9/2)^2*1/2+ (8/2)^2*1/2+ (7/2)^2*1/2+ (6/2)^2*1/2+ (5/2)^2*1/2+ (4/2)^2*1/2+ (3/2)^2*1/2+ (2/2)^2*1/2+ (1/2)^2*1/2 [/mm] > [mm] \integral_{0}^{5}{x^2 dx} [/mm] = 48 1/8
Ist das so richtig?
Wie muss man den Summationsindex abändern, damit das "Größerzeichen" gilt?
Wie kann die Näherung durch die Summe verbesser werden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Sa 22.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
üblicherweise fängt man mit dem kleinsten Glied der Summe an, das ist hier für die Untersumme 0 also k=0 und du hast 10 Summanden also bis 9
bei der Obersumme (das ist in der Zeichnung die Treppenkurve bis zur roten linie oben fängt man mit k=1 an also bei 1/2 und
hört bei k=10 (10/2) auf. Eigentlich müsstest du das direkt ablesen können.
Gruss leduart
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okay, aber die Reihenfolge ist ja egal, oder?
was müsste ich direkt ablesen können? und wenn wie?
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Hallo,
Wie leduart gesagt hat, kannst du natürlich auch direkt aus dem Bild ablesen, dass
$Obersumme = Untersumme + [mm] \left(\frac{10}{2}\right)^{2}*\frac{1}{2}$
[/mm]
Auch für die Berechnung der Obersumme unterteilen wir das Intervall [0,5] in die 10 Intervalle [mm] [x_{k},x_{k+1}].
[/mm]
Die Obersumme wird dadurch berechnet, dass wir statt dem linken Intervallrand [mm] x_{k} [/mm] nun den rechten Intervallrand [mm] x_{k+1} [/mm] nehmen. Nun sind aber die Intervalle alle gleichlang.
Das bedeutet: Den Summanden, [mm] $f(x_{k+1})*(x_{k+1} [/mm] - [mm] x_{k})$, [/mm] den wir bei der Obersumme für ein bestimmtes k bekommen, ist derselbe, den wir bei der Untersumme für (k+1) bekommen: [mm] $f(x_{k+1})*(x_{k+2}-x_{k+1})$.
[/mm]
[Weil eben [mm] (x_{k+1} [/mm] - [mm] x_{k}) [/mm] = [mm] (x_{k+2}-x_{k+1}), [/mm] weil die Intervalle alle gleichgroß sind].
Anschaulich im Bild: Der Flächenstreifen der Obersumme für ein bestimmtes Intervall ist derselbe Flächenstreifen wie der der Untersumme ein Intervall weiter rechts.
Ober- und Untersumme unterscheiden sich also nur in den ersten bzw. letzten Summanden!
Der Summand, der bei der Obersumme (im Vergleich zur Untersumme) fehlt, ist der erste Summand der Untersumme: [mm] \left(\frac{0}{2}\right)^{2}*\frac{1}{2}=0. [/mm] Der ist aber gerade Null!
Der Summand, der bei der Untersumme fehlt, ist der letzte Summand der Obersumme:
[mm] \left(\frac{10}{2}\right)^{2}*\frac{1}{2}.
[/mm]
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Das bedeutet nun: Lässt man die Summe in der Aufgabenstellung anstatt bis 9 bis zu ??? laufen, erhält man gerade die Obersumme des Integrals. Damit ist die Summe dann natürlich größer.
Grüße,
Stefan
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Hier lernt man echt viel dazu!
c)Wie muss man den Summationsindex abändern, damit das "Größerzeichen" gilt?
--> bis 10 laufen, oder?
d) Wie kann die Näherung durch die Summe verbesser werden?
ist das hier nicht die selbe antwort wie bei c)? oder was ist hier die antwort?
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Hallo,
> Hier lernt man echt viel dazu!
>
> c)Wie muss man den Summationsindex abändern, damit das
> "Größerzeichen" gilt?
> --> bis 10 laufen, oder?
Genau.
Falls du das irgendwie aufschreiben musst, musst du das natürlich noch begründen (eben gerade so, wie wir es hergeleitet haben - es ist dann gerade die Obersumme, die per Konstruktion größer als das Integral ist).
> d) Wie kann die Näherung durch die Summe verbesser werden?
> ist das hier nicht die selbe antwort wie bei c)?
Das ist eine etwas seltsame Frage, weil überhaupt nicht angegeben ist, in welcher Weise die Näherung durch "die Summe" verbessert werden soll.
Es gibt (mind.) zwei Möglichkeiten:
- Wenn du sowohl Unter- als auch Obersumme kennst (also die Summe einmal bis "9" und einmal bis "10" berechnet hast), dann bildet das arithmetische Mittel von Ober- und Untersumme bei stetigen Funktionen meist eine bessere Näherung für den Wert des Integrals (warum?)
- Ansonsten wird eine Näherung eines Integrals durch eine Summe immer dadurch verbessert, dass man das Intervall [0,5] in kleiner Teilintervalle zerlegt, zum Beispiel statt in 10 in 20 Teilintervalle, und daraus Ober- und Untersumme bildet.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Sa 22.05.2010 | | Autor: | KiaraMeyer |
ah okay jetzt habe ich alles verstanden, jetzt muss ich das nur noch auf mein Blatt bekommen, aber ich denke das bekomm ich hin.
Ich danke euch!!!!!!!
Echt klasse von euch. :)
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also ich hab mal die Summe berrechnet, da kommt bei mir 98,5 raus und bei dem Integral ein Wert von 41,66666666. ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Sa 22.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Summe ist falsch, das integral richtig.
Die Summe liegt zw. 30 und 40
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Sa 22.05.2010 | | Autor: | KiaraMeyer |
ja stimmt, da kommt 35,625 raus, danke. dann versuch ist das mal.
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