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| Aufgabe | Verifizieren Sie den Gaußschen Integralsatz für den Zylinder
[mm] Z=\{(x,y,z)\in\IR^3 : 0\le z\le 5 , x^2+y^2\le 9\} [/mm] und das Vektorfeld $F$ : [mm] $\IR^3 \to \IR^3$ [/mm] mit [mm] F=\vektor{x+y\\y+z\\z+x} [/mm] |
Hi Leute
Also ich dachte eigentlich ich hab den Dreh raus und dieser einfache Zylinder sollte nicht das Problem sein, aber wo steckt der Fehler:
[mm] \integral_{}^{}{\integral_{Z}^{}{\integral_{}^{}{\mbox{div} \vec{f}dZ}}}=\integral_{S}^{}{\integral_{}^{}{\vec{f}\cdot{}d\vec S}} [/mm] mit [mm] $S=\partial [/mm] Z$
Koordinatentransformation in Zylinderkorrdinaten: [mm] $\vektor{x\\y\\z}=\Phi(r,\varphi,z)=\vektor{r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z}$ [/mm] und [mm] $\mbox{det}(\Phi')=r$ [/mm] sowie [mm] $\mbox{div}\vec [/mm] f=3$
Somit ergibt sich für die linke Seite:
[mm] \integral_{}^{}{\integral_{Z}^{}{\integral_{}^{}{\mbox{div} \vec{f}dZ}}}=\integral_{0}^{5}{\integral_{0}^{3}{\integral_{0}^{2\pi}{3r d\varphi dr dz}}}=\integral_{0}^{5}{\integral_{0}^{3}{6\pi r dr dz}}=\integral_{0}^{5}{27\pi dz}=135\pi
[/mm]
Jedoch für die rechte Seite: gilt [mm] S=S_1+S_2+S_3 [/mm] mit folgenden Parametrisierungen und äußeren Normalenvektoren [mm] $\vec{n}$:
[/mm]
Mantelfäche [mm] $S_1:$ $\Phi_1(\varphi,z)=\vektor{3\cos\varphi\\3\sin\varphi\\z}$ [/mm] mit [mm] $\vec{n_1}=\vektor{3\cos\varphi\\3\sin\varphi\\0}$
[/mm]
Grundfäche [mm] $S_2:$ $\Phi_2(\varphi)=\vektor{3\cos\varphi\\3\sin\varphi\\0}$ [/mm] mit [mm] $\vec{n_2}=\vektor{0\\0\\-9}$
[/mm]
Mantelfäche [mm] $S_3:$ $\Phi_3(\varphi,z)=\vektor{3\cos\varphi\\3\sin\varphi\\5}$ [/mm] mit [mm] $\vec{n_3}=\vektor{0\\0\\9}$
[/mm]
Also: [mm] \integral_{S}^{}{\integral_{}^{}{\vec{f}\cdot{}d\vec S}}=\integral_{0}^{5}{\integral_{0}^{2\pi}{\vec{f}(\Phi_1)*\vec{n_1}d\varphi dz}}+\integral_{0}^{2\pi}{\vec{f}(\Phi_2)*\vec{n_2}d\varphi}+\integral_{0}^{2\pi}{\vec{f}(\Phi_3)*\vec{n_3}d\varphi}=90\pi+0+90\pi
[/mm]
So irgendwas ist falsch, nur was? Für nen Tipp bin ich wie imemr dankbar.
Grüße, Mr.Teutone
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Die erste Rechnung sieht gut aus, bei der zweiten sehe ich aber schon was.
Bei den Kreisflächen vertust du dich etwas. Du mußt doch über eine Fläche integrieren, und das wäre [mm] $\integral_0^r \integral_0^{2\pi} ...r*drd\phi$
[/mm]
Der Normalenvektor wäre dann [mm] $\vec n=\vektor{0\\0\\ \pm 1}$
[/mm]
Oder anders, um das an deine Schreibweise anzupassen:
[mm] $\vec n=\vektor{0\\0\\ \pm r}$, [/mm] dann kann man das r im Integral weg lassen.
Gleiches gilt für dein [mm] \Phi [/mm] : Da muß das r auch drin stehen, und nicht 3.
Momentan integrierst du nur über den Kreisrand, du mußt aber über die ganze Fläche integrieren (also auch r) , insbesondere, weil das Feld ja nicht überall konstant ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:33 Do 26.07.2007 | | Autor: | Mr.Teutone |
| Aufgabe | Verifizieren Sie den Gaußschen Integralsatz für den Zylinder
[mm] Z=\{(x,y,z)\in\IR^3 : 0\le z\le 5 , x^2+y^2\le 9\} [/mm] und das Vektorfeld $F$ : [mm] $\IR^3 \to \IR^3$ [/mm] mit [mm] F=\vektor{x+y\\y+z\\z+x} [/mm] |
Hi, du hast natürlich Recht. Wie komm ich denn auf so einen Blödsinn... Ich integriere ganz normal über die jeweilige Kreisfläche und dann haut auch alles hin. Der Vollständigkeit halber, hier nochmal die korrigierte Version:
Gaußscher Integralsatz: [mm] \integral_{}^{}{\integral_{Z}^{}{\integral_{}^{}{\mbox{div} \vec{f}dZ}}}=\integral_{S}^{}{\integral_{}^{}{\vec{f}\cdot{}d\vec S}} [/mm] mit [mm] $S=\partial [/mm] Z$
Koordinatentransformation in Zylinderkorrdinaten: [mm] $\vektor{x\\y\\z}=\Phi(r,\varphi,z)=\vektor{r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z}$ [/mm] und [mm] $\mbox{det}(\Phi')=r$ [/mm] sowie [mm] $\mbox{div}\vec [/mm] f=3$
Somit ergibt sich für die linke Seite:
[mm] \integral_{}^{}{\integral_{Z}^{}{\integral_{}^{}{\mbox{div} \vec{f}dZ}}}=\integral_{0}^{5}{\integral_{0}^{3}{\integral_{0}^{2\pi}{3r d\varphi dr dz}}}=\integral_{0}^{5}{\integral_{0}^{3}{6\pi r dr dz}}=\integral_{0}^{5}{27\pi dz}=135\pi
[/mm]
Für die rechte Seite gilt: [mm] S=S_1 \cup S_2 \cup S_3 [/mm] mit folgenden Parametrisierungen und äußeren Normalenvektoren [mm] $\vec{n}$:
[/mm]
Mantelfäche [mm] $S_1:$ $\Phi_1(\varphi,z)=\vektor{3\cos\varphi\\3\sin\varphi\\z}$ [/mm] mit [mm] $\vec{n_1}=\vektor{3\cos\varphi\\3\sin\varphi\\0}$
[/mm]
Grundfäche [mm] $S_2:$ $\Phi_2(\varphi,r)=\vektor{r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0}$ [/mm] mit [mm] $\vec{n_2}=\vektor{0\\0\\-r}$
[/mm]
Deckfläche [mm] $S_3:$ $\Phi_3(\varphi,r)=\vektor{r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\5}$ [/mm] mit [mm] $\vec{n_3}=\vektor{0\\0\\r}$
[/mm]
Also: [mm] \integral_{S}^{}{\integral_{}^{}{\vec{f}\cdot{}d\vec S}}=\integral_{0}^{5}{\integral_{0}^{2\pi}{\vec{f}(\Phi_1)*\vec{n_1}d\varphi dz}}+\integral_{0}^{3}{\integral_{0}^{2\pi}{\vec{f}(\Phi_2)*\vec{n_2}d\varphi dr}}+\integral_{0}^{3}{\integral_{0}^{2\pi}{\vec{f}(\Phi_3)*\vec{n_3}d\varphi dr}}=90\pi+0+45\pi=135\pi
[/mm]
Somit ist alles bestens 
Grüße, Mr.Teutone
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