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Integralsubstitution (Klausur): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Do 24.01.2013
Autor: Bolder

Aufgabe
[mm] I=\integral e^x*\frac{sin^3(e^x)*(1+cos(e^x))}{cos^4(e^x)}dx [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo und guten Abend :-) .
Mein Name ist Uwe und ich bereite mich gerade auf meine Ana 2 Klausur vor und hab folgendes Problem. Ich bekomme das integral einfach nicht gelöst. Ich hab [mm] e^x [/mm] als [mm] u=e^x [/mm] substituiert und dann das ganze versucht umzuschreiben als [mm] I=\integral tan^3(u)*\frac{(1+cos(u))}{cos(u)}du [/mm] . und dann [mm] I=\integral \frac{tan^3(u)}{cos(u)}du [/mm] + [mm] \integral tan^3(u) [/mm] du
Jetzt hänge ich leider ein bisschen.Hab schon versucht die Winkelfunktionen umzuschreiben aber hab echt keinen plan mehr.Bin für jeden Tipp dankbar.

Danke schonmal und nen schönen Abend noch.

Gruß Uwe

        
Bezug
Integralsubstitution (Klausur): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:16 Do 24.01.2013
Autor: reverend

Hallo Bolder/Uwe, [willkommenmr]

das ist ja ein Biest, das Du da hast...

> [mm]I=\integral e^x*\frac{sin^3(e^x)*(1+cos(e^x))}{cos^4(e^x)}dx[/mm]
>  
> Hallo und guten Abend :-) .
>  Mein Name ist Uwe und ich bereite mich gerade auf meine
> Ana 2 Klausur vor und hab folgendes Problem. Ich bekomme
> das integral einfach nicht gelöst. Ich hab [mm]e^x[/mm] als [mm]u=e^x[/mm]
> substituiert

Das ist schonmal ein guter Anfang, den Du hoffentlich auch schon offensichtlich fandest.

> und dann das ganze versucht umzuschreiben als
> [mm]I=\integral tan^3(u)*\frac{(1+cos(u))}{cos(u)}du[/mm] . und
> dann [mm]I=\integral \frac{tan^3(u)}{cos(u)}du[/mm] + [mm]\integral tan^3(u)[/mm] du

Auch das ist gut.

>  Jetzt hänge ich leider ein bisschen.Hab schon versucht
> die Winkelfunktionen umzuschreiben aber hab echt keinen
> plan mehr.Bin für jeden Tipp dankbar.

Immer der Reihe nach. Nehmen wir erstmal das linke Integral.
Substituiere [mm] v=\bruch{1}{\cos{(u)}} [/mm]

Dabei ist es vielleicht sinnvoll, vorher noch zu ersetzen [mm] \tan^2{(u)}=\bruch{1}{\cos^2{(u)}}-1 [/mm]

Das rechte Integral ist nicht einfacher. Da gab es eine Rekursionsformel, mit der man ein (oder, wenn ich recht erinnere, sogar zwei) Tangenspotenzen "runter" kommt. Ich denke mal drüber nach. Oder jemand anders hat einen besseren Tipp.

Deswegen lasse ich die Frage auch "halboffen".
Viel Erfolg!

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Integralsubstitution (Klausur): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:09 Do 24.01.2013
Autor: Bolder

Danke für den Tip. Hat wunderbar geklappt.das [mm] tan^3 [/mm] stand in der integraltabelle meiner formelsammlung und das andere sah dann folgendermaßen aus

[mm] \integral \frac {tan(u)}{cos(u)}*(\frac{1}{cos^2(u)}-1) [/mm] du  [mm] \frac{1}{cos(u)}=z [/mm] ;  [mm] \frac{dz}{du}=\frac{sin(u)}{cos^2(u)}=\frac{tan(u)}{cos(u)} [/mm]
[mm] \integral z^2-1 [/mm] dz = [mm] \frac{1}{3}z^3-z+C [/mm]

Rücksubstituieren und feddisch :-)

Bezug
                        
Bezug
Integralsubstitution (Klausur): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:21 Do 24.01.2013
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> Danke für den Tip. Hat wunderbar geklappt.

Gratuliere.

> das [mm]tan^3[/mm] stand
> in der integraltabelle meiner formelsammlung

Ich habs immer noch nicht nachgeschlagen...

> und das andere
> sah dann folgendermaßen aus
>  
> [mm]\integral \frac {tan(u)}{cos(u)}*(\frac{1}{cos^2(u)}-1)[/mm] du  
> [mm]\frac{1}{cos(u)}=z[/mm] ;  
> [mm]\frac{dz}{du}=\frac{sin(u)}{cos^2(u)}=\frac{tan(u)}{cos(u)}[/mm]
>  [mm]\integral z^2-1[/mm] dz = [mm]\frac{1}{3}z^3-z+C[/mm]
>  
> Rücksubstituieren und feddisch :-)

Richtig so.

Für eine Klausur wäre das trotzdem eine ziemlich fiese Aufgabe, finde ich.

Grüße
reverend


Bezug
                                
Bezug
Integralsubstitution (Klausur): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:56 Do 24.01.2013
Autor: Bolder


> Für eine Klausur wäre das trotzdem eine ziemlich fiese
> Aufgabe, finde ich.
>  
> Grüße
>  reverend
>  

Lustig das du das sagts... unser Prof stellt nur so Integrale in der Klausur.Aber dafür ist es auch nur eins und dann noch ein gebrochen rationales und 3 DGL.
Ist machbar...oder auch nicht ;-)

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