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Hallo,
folgendes unbestimmtes Integral soll durch Substitution gelöst werden:
[mm] \integral\bruch{\wurzel{4-x^2}}{x^2}dx
[/mm]
In der Lösung steht nun folgende Substitution:
x=2sin(u)
Wie kommen die darauf?
Leider komme damit auch nicht viel weiter...
Es folgt also:
[mm] \bruch{dx}{du}=2cos(u)
[/mm]
dx=2cos(u)*du
Nun setze ich ein:
[mm] \integral\bruch{\wurzel{4-(2sin (u))^2}}{(2sin(u))^2}*2cos(u)*du
[/mm]
Hat jemand eine Idee wie es hier weiter gehen könnte?
LG und besten Dank im Voraus...
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Hallo,
> Hallo,
> folgendes unbestimmtes Integral soll durch Substitution
> gelöst werden:
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> [mm]\integral\bruch{\wurzel{4-x^2}}{x^2}dx[/mm]
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> In der Lösung steht nun folgende Substitution:
>
> x=2sin(u)
>
> Wie kommen die darauf?
Naja, die Standardantwort ist: Man braucht ein bisschen Erfahrung. Wenn man einige Integrale gelöst hat, kommt man selbst auf solche Ideen, weil man es dann schon irgendwo anders mal so ähnlich gelöst hat.
Ein Hinweis ist aber folgender: Die Identität [mm] $\sin^2(x) [/mm] + [mm] \cos^2(x) [/mm] = 1$ sollte dir wohlbekannt sein.
Wenn man jetzt $x = [mm] 2\sin(u)$ [/mm] oder $x = [mm] 2\cos(u)$ [/mm] substituiert, erreicht man, dass die Wurzel verschwindet (s.u.), ohne im Nenner eine neue Wurzel zu erzeigen, und das vereinfacht das Integral dann meistens.
> Leider komme damit auch nicht viel weiter...
>
> Es folgt also:
>
> [mm]\bruch{dx}{du}=2cos(u)[/mm]
>
> dx=2cos(u)*du
Ja.
> Nun setze ich ein:
>
> [mm]\integral\bruch{\wurzel{4-(2sin (u))^2}}{(2sin(u))^2}*2cos(u)*du[/mm]
>
> Hat jemand eine Idee wie es hier weiter gehen könnte?
Benutze wie gesagt [mm] $\sin(u)^2 [/mm] + [mm] \cos(u)^2 [/mm] = 1$ (*) bzw. [mm] $(2\sin(u))^2 [/mm] + [mm] (2\cos(u))^2 [/mm] = 4$.
Dadurch kannst du die Wurzel entfernen. Im Integral sollte dann nur noch stehen:
[mm] $\frac{\cos^2(u)}{\sin^2(u)}$.
[/mm]
Mit Hilfe von (*) kannst du das (unter anderem) zu einem Integral [mm] $1/\sin^2(u)$ [/mm] vereinfachen.
Das ist ein bekanntes Integral. Rechne doch mal die Ableitung [mm] $\frac{\partial}{\partial u}\tan(u)$ [/mm] aus. Kannst du es damit lösen? (Du wirst sehen, dass [mm] $\tan(u)$ [/mm] nicht die Lösung ist, aber vielleicht gibt es dir einen Hinweis, was das Integral ist).
Viele Grüße,
Stefan
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Hallo,
erstmal Danke für die ausführliche Informationen...
Es gilt also:
[mm] (sin(x))^2=\bruch{1-cos(2x)}{2}
[/mm]
Dann folgt aus:
[mm] \wurzel{1-\bruch{1-cos(2x)}{2}}
[/mm]
Das hier:
|cos(x)|
Der Schritt ist mir nicht ganz klar... Wie verschwindet hier die Wurzel?
LG
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Hallo sonic,
im Comic würde hier wahrscheinlich "Gnurps" stehen.
> erstmal Danke für die ausführliche Informationen...
>
> Es gilt also:
>
> [mm](sin(x))^2=\bruch{1-cos(2x)}{2}[/mm]
Ja.
> Dann folgt aus:
>
> [mm]\wurzel{1-\bruch{1-cos(2x)}{2}}[/mm]
>
> Das hier:
>
> |cos(x)|
>
> Der Schritt ist mir nicht ganz klar... Wie verschwindet
> hier die Wurzel?
[mm] \sin^2{x}+\cos^2{x}=1
[/mm]
Das solltest Du auch nach drei durchgemachten Nächten und 3 Promille noch wissen. Oder in jeder anderen Art von Koma.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:40 Sa 01.02.2014 | | Autor: | sonic5000 |
oh je, dabei bin ich doch so gut wie straight...
Ich glaube ich muss mir Gedanken machen 
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