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Hallo liebe Freunde der Nacht,
die Länge der folgenden Kurve im Intervall 1 bis e soll berechnet werden:
[mm] y=4,2*ln(x^3)
[/mm]
Mein Ansatz :
Erste Ableitung bilden:
[mm] y'=\br{12,6}{x}
[/mm]
Nun Integral bilden:
[mm] s=\integral_{1}^{e}{\wurzel{1+(\br{12,6}{x})^2}dx}
[/mm]
Substitution:
[mm] u=\br{12,6}{x}
[/mm]
und
u=sinh(v) [mm] \Rightarrow [/mm] du=cosh(v)*dv
Nach Anwenden des folgenden Additionstheorems:
[mm] 1=cosh^2(x)-sinh^2(x)
[/mm]
komme ich auf:
[mm] \integral{\wurzel{cosh^2(v)-sinh^2(v)+sinh^2{v}}*cosh(v)dv}
[/mm]
Also:
[mm] \integral{cosh^2(v)}
[/mm]
Additionstheorem:
[mm] \integral{\br{1+cosh(2v)}{2}}
[/mm]
[mm] \br{1}{2}(v+sinh(v)*cosh(v))
[/mm]
Rücksubstitution:
u=sinh(v) [mm] \Rightarrow [/mm] v=arsinh(u)
[mm] u=\br{12,6}{x} [/mm]
Also:
[mm] v=arsinh(\br{12,6}{x})
[/mm]
So komme ich auf folgende Stammfunktion:
[mm] \br{1}{2}(arsinh(\br{12,6}{x})+(\br{12,6}{x})*cosh(arsinh(\br{12, 6}{x})))
[/mm]
Ich komme so leider nicht auf das Ergebnis... Sieht einer den Fehler?
LG und besten Dank im Voraus...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:45 Do 27.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Siehe Antwort von Sax. Ansonsten vergiss nicht, dass du die
Integrationsgrenzen auch neu berechnen musst.
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Do 27.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
im Gegensatz zur Antwort von der8 sieht das ganze weder in Ordnung aus noch ist es in Ordnung.
Der Grund ist folgender :
>
> Nun Integral bilden:
>
> [mm]s=\integral_{1}^{e}{\wurzel{1+(\br{12,6}{x})^2}dx}[/mm]
>
> Substitution:
>
> [mm]u=\br{12,6}{x}[/mm]
>
> und
>
> u=sinh(v) [mm]\Rightarrow[/mm] du=cosh(v)*dv
>
> Nach Anwenden des folgenden Additionstheorems:
>
> [mm]1=cosh^2(x)-sinh^2(x)[/mm]
>
> komme ich auf:
>
> [mm]\integral{\wurzel{cosh^2(v)-sinh^2(v)+sinh^2{v}}*cosh(v)dv}[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\integral{cosh^2(v)}[/mm]
>
Du hast bei der ersten Integration dx = du gesetzt, tatsächlich ist aber [mm] dx=-\bruch{12,6}{u^2}\;du [/mm] zu substituieren.
Gruß Sax.
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Hallo,
O.K. Also nur mal zum Verständnis. Auch wenn sie mich hier nicht weiterbringt... Ist die folgende Substitution denn so richtig ausgeführt?
[mm] \integral{\wurzel{1+(\br{11,6}{x})^2}dx}
[/mm]
Jetzt die erste Substitution:
[mm] u=\br{12,6}{x} \Rightarrow dx=-\br{x^2}{12,6}*du
[/mm]
[mm] \integral{\wurzel{1+(u)^2}*-\br{x^2}{12,6}du}
[/mm]
Nun die zweite Substitution:
u=sinh(u) [mm] \Rightarrow [/mm] du=cosh(v)*dv
So komme ich auf:
[mm] \integral{\wurzel{1+sinh^2(v)}*-\br{cosh(v)*x^2}{12,6}*dv}
[/mm]
Wäre das formal so richtig?
LG
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Hallo sonic5000,
> Hallo,
> O.K. Also nur mal zum Verständnis. Auch wenn sie mich
> hier nicht weiterbringt... Ist die folgende Substitution
> denn so richtig ausgeführt?
>
> [mm]\integral{\wurzel{1+(\br{11,6}{x})^2}dx}[/mm]
>
> Jetzt die erste Substitution:
>
> [mm]u=\br{12,6}{x} \Rightarrow dx=-\br{x^2}{12,6}*du[/mm]
>
> [mm]\integral{\wurzel{1+(u)^2}*-\br{x^2}{12,6}du}[/mm]
>
Bevor die nächste Substitution angewendet werden kann,
ist hier zunächst das "x" gemäß der Substituton zu ersetzen.
> Nun die zweite Substitution:
>
> u=sinh(u) [mm]\Rightarrow[/mm] du=cosh(v)*dv
>
> So komme ich auf:
>
> [mm]\integral{\wurzel{1+sinh^2(v)}*-\br{cosh(v)*x^2}{12,6}*dv}[/mm]
>
> Wäre das formal so richtig?
>
Nein, siehe oben.
> LG
>
Gruss
MathePower
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