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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Do 24.04.2014 | | Autor: | Coxy |
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{(2*(-sin(x))*cos(x)^2)^2+(2*cos(x)*sin(x)^2)^2} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{4*(cos(x)^2*sin(x)^4+4*sin(x)^2*cos(x)^4} dx}
[/mm]
Ich hab dann immer ausgeklammert und kam bis hier hin
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{2*sin(x)^2\wurzel{cos(x)^2+1} dx}
[/mm]
Wie kann ich weiter vereinfachen?
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Hallo Coxy,
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> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{(2*(-sin(x))*cos(x)^2)^2+(2*cos(x)*sin(x)^2)^2} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{4*(cos(x)^2*sin(x)^4+4*sin(x)^2*cos(x)^4} dx}[/mm]
Hier kannst du schon anders vereinfachen:
[mm] \wurzel{4\cdot{}cos(x)^2\cdot{}sin(x)^4+4\cdot{}sin(x)^2\cdot{}cos(x)^4}=\sqrt{4\sin^2x*\cos^2x(\sin^2x+\cos^2x)}=\sqrt{4\sin^2x*\cos^2x}=|2\cos{x}*\sin{x}|
[/mm]
>
> Ich hab dann immer ausgeklammert und kam bis hier hin
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{2*sin(x)^2\wurzel{cos(x)^2+1} dx}[/mm]
>
> Wie kann ich weiter vereinfachen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:08 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
" $ [mm] \sqrt{4\sin^2x\cdot{}\cos^2x}=2\cos{x}\cdot{}\sin{x} [/mm] $ "
berücksichtigt die Vorzeichen nicht.
Besser : Additionstheorem anwenden.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:57 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Sax,
danke für deine Mitteilung. Du hast natürlich Recht. Ich habe die Betragsstriche hier unterschlagen, die natürlich notwendig sind.
Danke für deine EInwende - im obigen Beitrag habe ich es editiert.
Grüße!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Coxy |
Hallo,
kann ich dich Fragen woher die Betragsstriche kommen?
Den Rest konnte ich nachvollziehen nur die Betragsstriche irritieren mich etwas.
Freundliche Grüße
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Hallo,
die Betragsstriche kommen schlicht und ergreifend von der Definition der Quadratwurzel, die du dir unbedingt nochmals zu Gemüte führen solltest. Quadratwurzeln sind demnach niemals negativ, dies macht hier die Betragsstriche für Bereiche, in denen der vereinfachte Term negativ wird, erforderlich.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Coxy |
Macht dies einen Unterschied wenn die Zahl nun intrigieren möchte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Fr 25.04.2014 | | Autor: | M.Rex |
> Macht dies einen Unterschied
> wenn die Zahl nun intrigieren möchte?
Klar:
[mm]\int xdx=\frac{x^{2}}{2}[/mm]
Aber, da
[mm]|x|=\begin{cases} x, & \textrm{für } x\ge0\\ -x, & \textrm{für }x<0\end{cases}[/mm]
gilt, in mathematisch total unsauberer Notation:
[mm]\int|x|dx=\begin{cases} \int xdx, & \textrm{für } x\ge0\\ \int-x dx, & \textrm{für }x<0\end{cases}=\begin{cases} \frac{x^{2}}{2}, & \textrm{für } x\ge0\\ -\frac{x^{2}}{2}, & \textrm{für }x<0\end{cases}[/mm]
Noch interessanter wird es, wenn die Integratiosngrenzen in verschiedenen Bereichen des Betrages liegen.
Du musst also das Integral an jeder "Knickstelle" unterteilen
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Coxy |
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{1^2+((\bruch{1}{2})(e^x-e^{-x}))^2} dx}
[/mm]
ergibt ja ausgeklammert folgendes
[mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{\bruch{1}{4}e^{2x}+\bruch{1}{4}e^{-2x}+0,5} dx}
[/mm]
Wie könnte ich hier denn vereinfachen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Fr 25.04.2014 | | Autor: | M.Rex |
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{1^2+((\bruch{1}{2})(e^x-e^{-x}))^2} dx}[/mm]
>
> ergibt ja ausgeklammert folgendes
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{\bruch{1}{4}e^{2x}+\bruch{1}{4}e^{-2x}+0,5} dx}[/mm]
>
> Wie könnte ich hier denn vereinfachen?
Es gilt:
[mm] $\frac{1}{4}\cdot e^{2x}+\frac{1}{4}\cdot e^{-2x}+\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{4}\cdot e^{2x}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4\cdot e^{2x}}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{4}\cdot (e^{x})^{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4\cdot (e^{x})^{2}}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{4}\cdot \left((e^{x})^{2}+2+\frac{1}{(e^{x})^{2}}\right)$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{4}\cdot \left(e^{x}+\frac{1}{e^{x}}\right)^{2}$
[/mm]
[mm] $\left(\frac{1}{2}\cdot \left(e^{x}+\frac{1}{e^{x}}\right)\right)^{2}$
[/mm]
Jetzt überlege mal, wie dir das weiterhilft.
Den Trick
[mm] \left(y-\frac{1}{y}\right)^{2}=y^{2}+2+\frac{1}{y^{2}} [/mm] solltest du dir merken, es ist eine häufige Anwendung der binomischen Formel.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Fr 25.04.2014 | | Autor: | Coxy |
Danke das hat mir schon die Endlösung verraten ;)
Eine Frage habe ich aber -> Wie lernt man so den Überblick zu haben?
Gibt es vielleicht ein Lehrbuch für so etwas?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Fr 25.04.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke das hat mir schon die Endlösung verraten ;)
> Eine Frage habe ich aber -> Wie lernt man so den
> Überblick zu haben?
Übung, Erfahrung,
> Gibt es vielleicht ein Lehrbuch für so etwas?
Eine meiner Meinung nach sehr gute Seite für die Schulmathematik hat ![[]](/images/popup.gif) F. Strobl zusammengestellt.
Marius
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