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Hallo, wir sollen 10 Integrale lösen. 8 davon habe ich hinbekommen. 2 machen mir leider Probleme und ich habe einfach keinen Ansatz. Ich würde mich sehr über einen Tipp freuen!
1.
[mm] \int\frac{1}{x^3+1}dx
[/mm]
Mein Ansatz war [mm] x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) [/mm] aber damit komme ich nicht weiter.
2.
[mm] \int\frac{x+4}{x^2+2x+5}dx
[/mm]
Mein Ansatz war
[mm] \int\frac{x+4}{x^2+2x+5}dx=\int\frac{x+2+2}{x^2+2x+5}dx=\int\frac{x+2}{x^2+2x+5}dx+\int\frac{2}{x^2+2x+5}dx=ln(x^2+2x+5)+C+2\int\frac{1}{x^2+2x+5}dx
[/mm]
Leider komme ich auch hier nicht weiter.
Vielleicht mit $ [mm] x^2+2x+5=(x+1)^2+5% [/mm] ??
Vielen Dank für jede Hilfe!
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Hallo,
Machen wir mal 1)
Du kannst deinen Ansatz ruhig weiterverfolgen.
Wenn du $ [mm] x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) [/mm] $ noch ein wenig umformst kommst du auf :
$ [mm] x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) [/mm] = [mm] \frac{1}{3}(\frac{2-x}{x^2 -x +1}+ \frac{1}{x+1})$
[/mm]
wobei nun das Integral : [mm] $\int{\frac{1}{x+1}dx}$ [/mm] keine Probleme bereitet, da es sich um ein wohlbekanntes Integral handelt.
bei [mm] $\frac{2-x}{x^2 -x +1}$ [/mm] musst du wieder ein wenig basteln.
mittels [mm] $x^2 [/mm] -x +1 = [mm] (x-1/2)^2 [/mm] + 3/4$ solltest du nun (mittels der Subst. u = x-1/2) locker weiterkommen.
Lg
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> Du kannst deinen Ansatz ruhig weiterverfolgen.
>
> Wenn du [mm]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/mm] noch ein wenig umformst kommst
> du auf :
>
> [mm]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) = \frac{1}{3}(\frac{2-x}{x^2 -x +1}+ \frac{1}{x+1})[/mm]
Danke, das habe ich nun auch raus!
> wobei nun das Integral : [mm]\int{\frac{1}{x+1}dx}[/mm] keine
> Probleme bereitet, da es sich um ein wohlbekanntes Integral
> handelt.
[mm] \int{\frac{1}{x+1}dx}=ln(x+1)+C [/mm] oder?
> bei [mm]\frac{2-x}{x^2 -x +1}[/mm] musst du wieder ein wenig
> basteln.
>
> mittels [mm]x^2 -x +1 = (x-1/2)^2 + 3/4[/mm] solltest du nun
> (mittels der Subst. u = x-1/2) locker weiterkommen.
u=x-1/2
[mm] \frac{du}{dx}=1
[/mm]
du=dx
[mm] \int\frac{2-x}{x^2 -x +1}dx=\int\frac{2-x}{(x-1/2)^2 + 3/4}dx=\int\frac{3/2-u}{u^2 + 3/4}du=\int\frac{3/2}{u^2 + 3/4}du-\int\frac{u}{u^2 + 3/4}du
[/mm]
Wie geht es weiter?
Das zweite Integral habe ich glaube ich hinbekommen
[mm] \int\frac{u}{u^2 + 3/4}du=\frac{1}{2}\int\frac{2u}{u^2 + 3/4}du=\frac{1}{2}ln(|u^2+3/4|)+C
[/mm]
Wie geht das erste?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 So 14.02.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Bjoern20121!
> [mm]\int{\frac{1}{x+1}dx}=ln(x+1)+C[/mm] oder?
Passt.
> Wie geht das erste?
Es gilt
[mm] $u^2+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\left(\frac{4}{3}u^2+1\right)=\frac{3}{4}\left(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}u\right)^2+1\right)$.
[/mm]
Substituiere
[mm] $v:=\frac{2}{\sqrt{3}}u$.
[/mm]
Tipp:
[mm] $\int\frac{1}{1+x^2}=\arctan{x}+C$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Nun zum zweiten Integral.
Das kannst du mittels Partialbruchzerlegung lösen !! (Achtung : Nullstellen des Nenners sind aber komplex)
Lg Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:36 Mo 15.02.2016 | | Autor: | DieAcht |
Hallo zusammen!
Ich empfehle folgenden Ansatz:
[mm] $\frac{x+4}{x^2+2x+5}=\frac{x+1+3}{x^2+2x+5}=\frac{x+1}{x^2+2x+5}+\frac{3}{x^2+2x+5}=\frac{1}{2}*\frac{2x+2}{x^2+2x+5}+\frac{3}{x^2+2x+5}$.
[/mm]
Erster Teil: Scharfes Hinsehen.
Zweiter Teil: Analog zur ersten Aufgabe mit [mm] $x^2+2x+5=(x+1)^2+1$.
[/mm]
(Allgemein berechne
[mm] $\int\frac{D}{ax^2+bx+c}\mathrm{d}x$.)
[/mm]
Gruß
DieAcht
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