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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:13 Sa 13.02.2016
Autor: Bjoern20121

Hallo, wir sollen 10 Integrale lösen. 8 davon habe ich hinbekommen. 2 machen mir leider Probleme und ich habe einfach keinen Ansatz. Ich würde mich sehr über einen Tipp freuen!

1.

[mm] \int\frac{1}{x^3+1}dx [/mm]

Mein Ansatz war [mm] x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) [/mm] aber damit komme ich nicht weiter.

2.

[mm] \int\frac{x+4}{x^2+2x+5}dx [/mm]

Mein Ansatz war

[mm] \int\frac{x+4}{x^2+2x+5}dx=\int\frac{x+2+2}{x^2+2x+5}dx=\int\frac{x+2}{x^2+2x+5}dx+\int\frac{2}{x^2+2x+5}dx=ln(x^2+2x+5)+C+2\int\frac{1}{x^2+2x+5}dx [/mm]

Leider komme ich auch hier nicht weiter.

Vielleicht mit $ [mm] x^2+2x+5=(x+1)^2+5% [/mm] ??

Vielen Dank für jede Hilfe!

        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Sa 13.02.2016
Autor: Thomas_Aut

Hallo,

Machen wir mal 1)

Du kannst deinen Ansatz ruhig weiterverfolgen.

Wenn du $ [mm] x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) [/mm] $ noch ein wenig umformst kommst du auf :

$ [mm] x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) [/mm] = [mm] \frac{1}{3}(\frac{2-x}{x^2 -x +1}+ \frac{1}{x+1})$ [/mm]

wobei nun das Integral : [mm] $\int{\frac{1}{x+1}dx}$ [/mm] keine Probleme bereitet, da es sich um ein wohlbekanntes Integral handelt.


bei [mm] $\frac{2-x}{x^2 -x +1}$ [/mm] musst du wieder ein wenig basteln.

mittels [mm] $x^2 [/mm] -x +1 = [mm] (x-1/2)^2 [/mm] + 3/4$ solltest du nun (mittels der Subst. u = x-1/2) locker weiterkommen.


Lg






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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Sa 13.02.2016
Autor: Bjoern20121


> Du kannst deinen Ansatz ruhig weiterverfolgen.
>  
> Wenn du [mm]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)[/mm] noch ein wenig umformst kommst
> du auf :
>  
> [mm]x^3+1=(x+1)(x^2-x+1) = \frac{1}{3}(\frac{2-x}{x^2 -x +1}+ \frac{1}{x+1})[/mm]

Danke, das habe ich nun auch raus!

> wobei nun das Integral : [mm]\int{\frac{1}{x+1}dx}[/mm] keine
> Probleme bereitet, da es sich um ein wohlbekanntes Integral
> handelt.

[mm] \int{\frac{1}{x+1}dx}=ln(x+1)+C [/mm] oder?

> bei [mm]\frac{2-x}{x^2 -x +1}[/mm] musst du wieder ein wenig
> basteln.
>
> mittels [mm]x^2 -x +1 = (x-1/2)^2 + 3/4[/mm] solltest du nun
> (mittels der Subst. u = x-1/2) locker weiterkommen.

u=x-1/2
[mm] \frac{du}{dx}=1 [/mm]
du=dx

[mm] \int\frac{2-x}{x^2 -x +1}dx=\int\frac{2-x}{(x-1/2)^2 + 3/4}dx=\int\frac{3/2-u}{u^2 + 3/4}du=\int\frac{3/2}{u^2 + 3/4}du-\int\frac{u}{u^2 + 3/4}du [/mm]

Wie geht es weiter?

Das zweite Integral habe ich glaube ich hinbekommen

[mm] \int\frac{u}{u^2 + 3/4}du=\frac{1}{2}\int\frac{2u}{u^2 + 3/4}du=\frac{1}{2}ln(|u^2+3/4|)+C [/mm]

Wie geht das erste?

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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:36 So 14.02.2016
Autor: DieAcht

Hallo Bjoern20121!


> [mm]\int{\frac{1}{x+1}dx}=ln(x+1)+C[/mm] oder?

Passt.

> Wie geht das erste?

Es gilt

      [mm] $u^2+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\left(\frac{4}{3}u^2+1\right)=\frac{3}{4}\left(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}u\right)^2+1\right)$. [/mm]

Substituiere

      [mm] $v:=\frac{2}{\sqrt{3}}u$. [/mm]

Tipp:

      [mm] $\int\frac{1}{1+x^2}=\arctan{x}+C$. [/mm]


Gruß
DieAcht

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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 So 14.02.2016
Autor: Thomas_Aut

Nun zum zweiten Integral.

Das kannst du mittels Partialbruchzerlegung lösen !! (Achtung : Nullstellen des Nenners sind aber komplex)




Lg Thomas

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Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:36 Mo 15.02.2016
Autor: DieAcht

Hallo zusammen!


Ich empfehle folgenden Ansatz:

       [mm] $\frac{x+4}{x^2+2x+5}=\frac{x+1+3}{x^2+2x+5}=\frac{x+1}{x^2+2x+5}+\frac{3}{x^2+2x+5}=\frac{1}{2}*\frac{2x+2}{x^2+2x+5}+\frac{3}{x^2+2x+5}$. [/mm]

Erster Teil: Scharfes Hinsehen.
Zweiter Teil: Analog zur ersten Aufgabe mit [mm] $x^2+2x+5=(x+1)^2+1$. [/mm]


(Allgemein berechne

      [mm] $\int\frac{D}{ax^2+bx+c}\mathrm{d}x$.) [/mm]


Gruß
DieAcht

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