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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 So 13.03.2016 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | [mm]\int_{-1}^{1} cos^2(\pi x) dx[/mm] |
Hallo,
ich weiß, dass das Ergebnis 1 ist und wie ich ohne Substitution darauf komme.
Wenn ich aber mit Substitution [mm]\pi x=u[/mm] das Ganze ausrechne, dann komme ich auf ein anderes Ergebnis und ist stehe total auf dem Schlauch und finde den Fehler nicht:
[mm]\int_{-1}^{1} cos^2(\pi x)dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} cos^2(u) du = 0-\int_{-\pi}^{\pi} -sin^2(u) du = 0+ \int_{-\pi}^{\pi}1-cos^2(u) du = \int_{-\pi}^{\pi} 1 du - \int_{-\pi}^{\pi} cos^2(u) du[/mm]
Jetzt mache ich die Substitution rückgängig und erhalte:
[mm]\int_{-1}^{1} cos^2(\pi x) dx = 2\pi - \pi \int_{-1}^1 cos^2(\pi x) dx[/mm]
und dann insgesamt
[mm]\int_{-1}^1} cos^2(\pi x) dx = \frac{2\pi}{1+\pi} \neq 1[/mm]
Wo ist mein Rechenfehler ?
Danke im Voraus !
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Hallo, die Substitution [mm] u=\pi*x [/mm] ist ok, du bekommst (ich schreibe ohne Grenzen)
[mm] \bruch{1}{\pi}*\integral_{}^{}{cos^2(u) du}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\pi}*\integral_{}^{}{\bruch{1}{2}cos(2u)+\bruch{1}{2} du}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\pi}[\bruch{1}{2}*sin(u)*cos(u)+\bruch{1}{2}*u]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\pi}[\bruch{1}{2}*sin(\pi*x)*cos(\pi*x)+\bruch{1}{2}*\pi*x]
[/mm]
jetzt Genzen einsetzen,
für obere Grenze 1 bekommst du: [mm] \bruch{1}{\pi}*[0+\bruch{1}{2}\pi]=\bruch{1}{2}
[/mm]
für untere Grenze -1 bekommst du: [mm] \bruch{1}{\pi}*[0-\bruch{1}{2}\pi]=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 So 13.03.2016 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Steffi,
danke für deine Antwort !
Ich kann deine Rechnung nachvollziehen, ich weiß aber immer noch nicht, wo in meiner Rechnung der Fehler liegt.
Kann den jemand erkennen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 So 13.03.2016 | | Autor: | fred97 |
den Faktor [mm] \bruch {1}{\pi} [/mm] hast du verschlampt
fred
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:14 So 13.03.2016 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred,
danke für Deine Antwort !
Wo habe ich den verschlampt ?
Auf der linken Seite steht nach der Substitution
[mm]\frac{1}{\pi} \int_{-1}^{1} cos^2(\pi x) \pi dx[/mm]
und dann fällt der Faktor weg.
Oder meintest Du woanders ?
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> [mm]\int_{-1}^{1} cos^2(\pi x) dx[/mm]
> Hallo,
> ich weiß, dass das Ergebnis 1 ist und wie ich ohne
> Substitution darauf komme.
> Wenn ich aber mit Substitution [mm]\pi x=u[/mm] das Ganze
> ausrechne, dann komme ich auf ein anderes Ergebnis und ist
> stehe total auf dem Schlauch und finde den Fehler nicht:
Hallo,
Du hattest den Faktor [mm] \bruch{1}{\pi} [/mm] verloren.
> [mm]\int_{-1}^{1} cos^2(\pi x)dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} cos^2(u) du = \red{\bruch{1}{\pi}}(0-\int_{-\pi}^{\pi} -sin^2(u) du )= \red{\bruch{1}{\pi}}(0+ \int_{-\pi}^{\pi}1-cos^2(u) du )= \red{\bruch{1}{\pi}}(\int_{-\pi}^{\pi} 1 du - \int_{-\pi}^{\pi} cos^2(u) du[/mm])
>
> Jetzt mache ich die Substitution rückgängig und erhalte:
> [mm]\int_{-1}^{1} cos^2(\pi x) dx = \red{\bruch{1}{\pi}}(2\pi - \pi \int_{-1}^1 cos^2(\pi x) dx[/mm][mm] =2-\int_{-1}^1 cos^2(\pi [/mm] x) dx
>
> und dann insgesamt
das Gewünschte.
LG Angela
> [mm]\int_{-1}^1} cos^2(\pi x) dx = \frac{2\pi}{1+\pi} \neq 1[/mm]
>
> Wo ist mein Rechenfehler ?
>
> Danke im Voraus !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 So 13.03.2016 | | Autor: | SusanneK |
Ahhh...jetzt sehe ich es auch...DANKE, Angela !!
Das war dann der Faktor, den Fred meinte.
Der Sonntag ist gerettet 
Ich danke euch !!
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