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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Mi 19.04.2017 | | Autor: | mka |
Guten Tag,
ich sitze an einer DGL Aufgabe und verstehe diesen Teil nicht ganz:
$ [mm] C(x)=\integral_{}^{}{4xe^{-x^2} dx}=-2\integral_{}^{}{-2xe^{-x^2} dx}=-2e^{-x^2} [/mm] $
Ich weiß, dass hier Substitution angewendet wird und -2x mit -2x gekürzt wird. Durch etwas googeln habe ich diese "Formel" gefunden: $dx = [mm] \bruch{dt}{-2x}$
[/mm]
Damit klappt es auch.
Bisher hatte ich aber diese Formel genutzt: dx = P'(t) dt
Ich bin mir aber nicht sicher. ob es dasselbe ist.
Deswegen habe ich es einfach mal nachgerechnet.
$ [mm] C(x)=\integral_{}^{}{4xe^{-x^2} dx}=-2\integral_{}^{}{2t^\bruch{1}{2}e^{t}\*-\bruch{1}{2}t^{-\bruch{1}{2}} dt}= -2e^{-x^2} [/mm] $
[mm] t=-x^2 [/mm]
[mm] x=-t^\bruch{1}{2}=P(t) [/mm]
[mm] P'(t)=-\bruch{1}{2}t^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Ist das korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Do 20.04.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
> Guten Tag,
>
> ich sitze an einer DGL Aufgabe und verstehe diesen Teil
> nicht ganz:
> [mm]C(x)=\integral_{}^{}{4xe^{-x^2} dx}=-2\integral_{}^{}{-2xe^{-x^2} dx}=-2e^{-x^2}[/mm]
>
> Ich weiß, dass hier Substitution angewendet wird und -2x
> mit -2x gekürzt wird.
Das ist doch schonmal gut 
> Durch etwas googeln habe ich diese
> "Formel" gefunden: [mm]dx = \bruch{dt}{-2x}[/mm]
> Damit klappt es
> auch.
So soll es ja sein. Zur Erklärung: Oft wird als "Ableitungsnotation" dann f'(x) verwendet, das ist auch soweit ok. Aber es gibt auch noch die Notation [mm] \frac{df}{dx}, [/mm] machmal auch [mm] \frac{\partial f}{\partial x} [/mm] als Notation.
Gerade wenn evtl sogar mehrere Variablen in einer Funktion vorhanden sind, ist diese durchaus sinnvoll:
Beispiel 1: Du hast die Funktion [mm] f(x)=x^{2}, [/mm] dann ist [mm] \frac{df}{dx}=2x
[/mm]
Beispiel 2: Bi der Funktion [mm] f(x,y)=xy^{2} [/mm] ist [mm] \frac{df}{dx}=2xy [/mm] aber [mm] \frac{df}{d\red{y}}=x^{2}
[/mm]
Hier ist der Vorteil der "Bruchnotation" zu sehen.
> Bisher hatte ich aber diese Formel genutzt: dx = P'(t) dt
> Ich bin mir aber nicht sicher. ob es dasselbe ist.
> Deswegen habe ich es einfach mal nachgerechnet.
>
> [mm]C(x)=\integral_{}^{}{4xe^{-x^2} dx}=-2\integral_{}^{}{2t^\bruch{1}{2}e^{t}\*-\bruch{1}{2}t^{-\bruch{1}{2}} dt}= -2e^{-x^2}[/mm]
>
> [mm]t=-x^2[/mm]
> [mm]x=-t^\bruch{1}{2}=P(t)[/mm]
> [mm]P'(t)%3D-%5Cbruch%7B1%7D%7B2%7Dt%5E%7B-%5Cbruch%7B1%7D%7B2%7D%7D[/mm]
>
> Ist das korrekt?
Zu deinem Beispiel:
Du hast
[mm] \int4x\cdot e^{-x^{2}}dx
[/mm]
Nun substituierst du [mm] t:=-x^{2}, [/mm] dann gilt [mm] \frac{dt}{dx}=-2x, [/mm] das kannst du zu [mm] dx=\frac{dt}{-2x} [/mm] umstellen.
Damit wird aus
[mm] \int4x\cdot e^{-x^{2}}dx
[/mm]
dann
[mm] \int4x\cdot e^{t}dx
[/mm]
Nun ist aber das dx noch vorhanden, ersetzt du auch dieses durch die obige Formel, bekommst du
[mm] \int4x\cdot e^{t}\cdot\frac{dt}{-2x}
[/mm]
Das wird dann zu
[mm] \int-2\cdot e^{t}dt
[/mm]
Und dieses Integral kannst du nun lösen, da dieses nur noch von der Variable t abhängig ist, die "ersetzte Variable" x ist "temporär herausgefallen".
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Do 20.04.2017 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo M.Rex, kleine Verwechslung
[mm] f(x,y)=x*y^2
[/mm]
[mm] \bruch{d(f)}{d(x)}=y^2 [/mm] und [mm] \bruch{d(f)}{d(y)}=2*x*y
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Do 20.04.2017 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Steffi,
danke für die Korrektur-Ergänzung.
LG
Marius
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