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Forum "Integralrechnung" - Integration
Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Integration: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:51 Di 31.01.2006
Autor: angie.b

Aufgabe
Bestimme folgende Integrale!

a) [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{dx}{5x-4}} [/mm]

b) [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{dx}{(ax+b)^{3}}} [/mm]

c) [mm] \integral_{a}^{b}{x*sinx^{2} dx} [/mm]

meine frage dazu ist nun, ob ich die integrale mit hilfe von substituion berechnen muss?ich habe schon versucht die brüche aufzulösen, komme aber auf kein anständiges ergebnis. über jeden lösungsansatz würde ich mich freuen,danke!

        
Bezug
Integration: Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:02 Di 31.01.2006
Autor: Roadrunner

Hallo angie.b!


Substitution ist genau das richtige Stichwort! [ok]


a) [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{dx}{5x-4}}[/mm]

Substituiere: $z \ := \ 5x-4$


b) [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{dx}{(ax+b)^{3}}}[/mm]

Schreibe um:  [mm] $\bruch{1}{(a*x+b)^3} [/mm] \ = \ [mm] (a*x+b)^{-3}$ [/mm] und

substituiere: $z \ := \ ax+b$


c) [mm]\integral_{a}^{b}{x*\sin\left(x^2\right) \ dx}[/mm]

Substituiere: $z \ := \ [mm] x^2$ [/mm]



[aufgemerkt]  Jeweils aber nicht vergessen, $dx_$ durch $dz_$ zu ersetzen!




Gruß vom
Roadrunner


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Integration: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 Di 31.01.2006
Autor: angie.b

erstaml ein gaaanz großes danke für deine schnelle hilfe.
jetzt will ich mich nur vergewissern,ob meine lösungen richtig sind (für unbestimmte Integrale):

a) 5*ln|5x-4| + c

b) - [mm] \bruch{a}{2*(ax+b)^{2}} [/mm] + c

c) - [mm] \bruch{2}{3} x^{6}*cosx^{2} [/mm]

bei der aufgabe c, bin ich allerdings nicht wirklich mit klar gekommen,aber ich habs probiert..:)

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Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:38 Di 31.01.2006
Autor: Disap

Hi hallöchen.

> erstaml ein gaaanz großes danke für deine schnelle hilfe.
>  jetzt will ich mich nur vergewissern,ob meine lösungen
> richtig sind (für unbestimmte Integrale):
>  
> a) 5*ln|5x-4| + c

Das ist so nicht ganz richtig. Korrekt müsste es lauten

F(x) =  [mm] \bruch{ln|5x-4|}{5}+c [/mm]

Die fünf steht also im Nenner. Vertmutlich ein Tippfehler?

> b) - [mm]\bruch{a}{2*(ax+b)^{2}}[/mm] + c

[notok] Wie kommst du auf das a im Zähler?

Richtig müsste es lauten
[mm] \bruch{-1}{2a*(ax+b)^{2}}[/mm] [/mm] + c

> c) - [mm]\bruch{2}{3} x^{6}*cosx^{2}[/mm]
>  
> bei der aufgabe c, bin ich allerdings nicht wirklich mit
> klar gekommen,aber ich habs probiert..:)

Zu kompliziert das Ergebnis! Irgendetwas mit 6 im Exponenten.

Wenn du es mit Substitution lösen möchtest, dann benutze die Substitution [mm] z:=x^2 [/mm] => z' = 2x

Ansonsten kannst du $ [mm] \integral_{a}^{b}{x\cdot{}sinx^{2} dx} [/mm] $ auch mit partieller Integration lösen. (ich gehe mal davon aus, dass du [mm] sin(x^2) [/mm] meintest und nicht [mm] (sin(x))^2 [/mm] = sin(x) * sin(x) )? (Siehe Mitteilung)  Zeig uns doch mal deine Rechnung oder versuchs noch einmal. Kontrollergebnis für diese Aufgabe mit [mm] sin(x^2) [/mm]

F(x) =  [mm] \bruch{-cos(x^2)}{2} [/mm]

Schöne Grüße Disap

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Bezug
Integration: Einspruch!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:44 Di 31.01.2006
Autor: Roadrunner

Hallo Disap!


> Ansonsten kannst du [mm]\integral_{a}^{b}{x\cdot{}sinx^{2} dx}[/mm] auch mit partieller Integration lösen.

Das halte ich für ein Gerücht, da Du [mm] $\sin\left(x^2\right)$ [/mm] nicht elementar integrieren kannst.


Gruß vom
Roadrunner


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Integration: geschlafen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:57 Di 31.01.2006
Autor: Disap

Hallo Roadrunner.

> > Ansonsten kannst du [mm]\integral_{a}^{b}{x\cdot{}sinx^{2} dx}[/mm]
> auch mit partieller Integration lösen.
>  
> Das halte ich für ein Gerücht, da Du [mm]\sin\left(x^2\right)[/mm]
> nicht elementar integrieren kannst.

Du hast natürlich Recht. Was ich mir bei dem Gedanken gedacht habe, weiß ich auch nicht - vermutlich war ich auf [mm] \int x*(sinx)^2 [/mm] fixiert.

Danke für den Hinweis!

Grüße,
Disap

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Integration: Aufgabe a)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Di 31.01.2006
Autor: angie.b

also ich hab meinen lösungsweg nochmal angeschaut,weiß aber nicht,weshlab die 5 im nenner stehen muss?

wenn ich mit z= 5x -4 substituiere erhalte ich

[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{z} * 5 dz} [/mm]

und wenn ich das dann integriere,komme ich auf

5ln|z| + c



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Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:00 Di 31.01.2006
Autor: Disap

Hallo noch einmal.

> also ich hab meinen lösungsweg nochmal angeschaut,weiß aber
> nicht,weshlab die 5 im nenner stehen muss?
>  
> wenn ich mit z= 5x -4 substituiere erhalte ich

[ok]

leiten wir das mal ab, es ergibt sich

z'=5  

z' =  [mm] \bruch{dz}{dx} \gdw [/mm] dx =  [mm] \bruch{dz}{z'} [/mm] = [mm] \bruch{dz}{5} [/mm]

Es muss also im Nenner stehen, da du für das "eigentliche" dx eben diesen Bruch einsetzt.

> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{z} * 5 dz}[/mm]
>  
> und wenn ich das dann integriere,komme ich auf
>  
> 5ln|z| + c

Ok?

VG Disap

Bezug
                                                
Bezug
Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:04 Di 31.01.2006
Autor: angie.b

stimmt,ich hab in meiner rechnung beim ersetzen von dx durch dz nen schreibfehler gehabt...:)...aber jetzt hab ichs kappiert..

mfg angie ;)

Bezug
                                
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Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:10 Di 31.01.2006
Autor: angie.b

vielen,vielen dank euch beiden!!
auch aufgabe c) habe ich soeben rausbekommen..:)

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