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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Di 07.08.2007 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gesucht ist das Volumen zwischen:
Ich hätte ein kleines Problem bei folgender Rechnung, und zwar ist folgendes Volumen gesucht:
[mm] z²\ge [/mm] (x-1/2)²+y² (Konus)
und
[mm] 0\le z\le [/mm] 1-x/2 |
Hallo alle zusammen!
Das ganze ergiebt einen Konus welcher durch eine Ebene geschnitten wird, gesucht ist jetzt das Volumen unterhalb des Konuses.
Nun mein Problem hier ist, dass ich hier ein Kreis bildet; das Integral auf einem Kreis ist immer:
x=r*cos(a)
y=r*sin(a)
wobei r zwischen 0 und dem Radius variiert und a zwischen 0 und 2Pi. Das kann ich hier jedoch nicht anwenden, der Radius wird durch eine Funktion bestimmt und die Funktion verläuft nicht durch den Mittelpunkt des Kreises sondern Ausmittig.
Hätte hier jemand einen funktionierenden Lösungs-Ansatz für mich?
Dankesehr
MfG
Stean
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Hallo!
Wenn das ganze nicht um den Ursprung liegt, warum verschiebst du das ganze nicht einfach? x'=x+1/2. Anschaulich ist das klar, und auch mathematisch ist das ja eine recht einfache Substitution.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Zuggel |
Daraus resultiert ein Integral auf einer Ellipse und das bin ich nicht im Stande
Der Kreis variiert zwischen 1 und -1, verschiebe ich das ganze, variiert er vom neuen Zentraum aus 1,5 in x(+) Richtung und 0,5 ind x(-) Richtung. Wie mache ich das dann?
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> Daraus resultiert ein Integral auf einer Ellipse und das
> bin ich nicht im Stande
>
> Der Kreis variiert zwischen 1 und -1, verschiebe ich das
> ganze, variiert er vom neuen Zentraum aus 1,5 in x(+)
> Richtung und 0,5 ind x(-) Richtung. Wie mache ich das dann?
Du kannst doch zu den Koordinaten [mm] $x=\frac{1}{2}+r\cdot\cos(\varphi)$, $y=r\cdot \cos(\varphi)$, [/mm] $z$ übergehen. Dann ist das Integral für die Berechnung des fraglichen Volumens meiner Meinung nach:
[mm]V=\int_0^r \int_0^{2\pi} \int_r^{\frac{3}{4}-\frac{1}{2} r\cos(\varphi)}\; dz\; r\; d\varphi\; dr[/mm]
Nachtrag (1. Revision): Schon die obere Grenze des äusseren Integrals im obenstehenden Ansatz ist der reinste Müll. Wie wärs statt dessen mit
[mm]V=\int_{-1}^{+1} \int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-x^2}}^{+\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-x^2}} \int_{\sqrt{(x-\frac{1}{2})^2+y^2}}^{1-\frac{x}{2}}\;dz\; dy\; dx[/mm]
Sieht in der Tat nicht so hübsch aus...
(2. Revision): Wenn man also, von diesem Mehrfachintegral bzw. seinen Grenzen hinreichend abgestossen, nochmals die oben vorgeschlagenen Zylinderkoordinaten [mm] $x=\frac{1}{2}+r\cdot\cos(\varphi)$, $y=r\cdot \cos(\varphi)$, [/mm] $z$ in Betracht zieht, dann folgt doch aus $z=r$ und [mm] $z=1-\frac{x}{2}=\frac{3}{4}-\frac{r}{2}\cos(\varphi)$, [/mm] dass [mm] $r=\frac{3}{2(2+\cos(\varphi))}$ [/mm] gilt (für einen Punkt zu den Parameterwerten [mm] $(r,\varphi,z)$ [/mm] auf der Schnittellipse von Kegel und Ebene). Wie wärs also mit folgendem Mehrfachintegral für das gesuchte Volumen:
[mm]V=\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{3}{2(2+\cos(\varphi))}}\int_r^{\frac{3}{4}-\frac{r}{2}\cos(\varphi)}\; dz\; r\,dr\; d\varphi[/mm]
So, nun hast Du von mir eine ganze Auswahlsendung von Vorschlägen - der erste davon sicher falsch. Vielleicht schreibst Du einmal, was Dir davon richtig oder falsch, brauchbar oder unbrauchbar erscheint?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Fr 10.08.2007 | | Autor: | Zuggel |
Nun der 3. Lösungsansatz schaut schon recht gut aus, nur das Problem ist:
Integriere ich das ganze, so wird der Radius immer in Funktion des jeweiligen Winkels berechnet und nicht in Funktion zu der jeweiligen z Koordinate; da sich der Radius ja mit dem Verändern der Z Koordinate verändert und nicht mit der Veränderung des Winkels.
Auser ich habe jetzt einen deiner Rechenschritte falsch interpretiert...
Danke, Grüße
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> Nun der 3. Lösungsansatz schaut schon recht gut aus, nur
> das Problem ist:
>
> Integriere ich das ganze, so wird der Radius immer in
> Funktion des jeweiligen Winkels berechnet und nicht in
> Funktion zu der jeweiligen z Koordinate; da sich der Radius
> ja mit dem Verändern der Z Koordinate verändert und nicht
> mit der Veränderung des Winkels.
Du musst Dir vorstellen, dass wir mit den beiden äusseren Integralen (bezüglich [mm] $\varphi$ [/mm] und $r$) über die Projektion der Schnittfläche von Kegel und Ebene in die $xy$-Ebene integrieren. Ursprung für die Polarkoordinaten [mm] $\varphi, [/mm] r$ ist der Punkt [mm] $(\frac{1}{2}|0|0)$.
[/mm]
Das fragliche Mehrfachintegral ist:
[mm]V=\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{3}{2(2+\cos(\varphi))}}\int_r^{\frac{3}{4}-\frac{r}{2}\cos(\varphi)}\; dz\; r\,dr\; d\varphi [/mm]
Also wenn das Integral bezüglich $z$ an die Reihe kommt, ist doch von den beiden äusseren Integralen [mm] $\varphi$ [/mm] und $r$ bereits festgelegt. Wir müssen also nur sicherstellen, dass [mm] $\varphi,r$ [/mm] über die Transformation [mm] $x=\frac{1}{2}+r\cos(\varphi)$, $y=r\sin(\varphi)$ [/mm] die $x,y$-Koordinaten eines Punktes der Schnittellipse von Kegel und Ebene liefert. Ich hoffe, dass dies der Fall ist: für einen Punkt auf dem Kegel ist ja $z=r$ und für einen Punkt auf der Ebene [mm] $z=1-\frac{x}{2}$. [/mm] Einsetzen der neuen Koordinaten für $x$ ergibt [mm] $r=\frac{3}{4}-\frac{r}{2}\cos(\varphi)$. [/mm] Auflösen nach $r$ ergibt [mm] $r=\frac{3}{2(2+\cos(\varphi))}$. [/mm] Dies ist die obere Grenze für die Integration nach $r$. $r$ darf, für einen Punkt im Inneren der Ellipse, natürlich auch kleiner sein: daher untere Grenze 0 für dieses Integral nach $y$.
In der $z$-Richtung integrieren wir dann von einem solchen (beliebigen, durch [mm] $\varphi$ [/mm] und $r$ definierten) Punkt auf der Schnittellipse zum Schnittpunkt des Lotes auf die $z=0$-Ebene mit dem Kegel [mm] $z^2=(x-\frac{1}{2})^2+y^2$. [/mm] Diese beiden Punkte ergeben die obere bzw. untere Grenze des inneren Integrals [mm] $\int \ldots \; [/mm] dz$.
>
> Auser ich habe jetzt einen deiner Rechenschritte falsch
> interpretiert...
Ich verstehe im Moment nicht, wo genau Du ein Problem siehst. Vielleicht sollte ich eine passende Skizze der Situation liefern. Hier mein erster Versuch in diese Richtung (links Seitenriss, rechts Grundriss: rot Schnittellipse bzw. rot ausgefüllt das zu bestimende Volumen):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mo 13.08.2007 | | Autor: | Zuggel |
Nun deine Erklärung klingt mir jetzt recht einleuchtend.
Der Grund für meine Frage war ganz klar der, dass ich eine andere Vorgehensweise beim Lösen solcher Integrale gewohnt bin. Wenn ich darf, möchte ich kurz ein Beispiel anführen:
Gesucht ist folgendes Integral:
[mm] \integral_{a}^{b}{\integral_{c}^{d}{\integral_{e}^{f}{f(x) dx} dy} dz}
[/mm]
das Integral ist auf T zu führen:
T {(x,y,z) R³: [mm] x²+y²\le9, [/mm] (z-2)² [mm] \le [/mm] x²+y², 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2}
das ganze wird so angefangen, es wird auf z aufgelöst:
z= 2 +/- [mm] \wurzel{x²+y²}
[/mm]
das ganze ergibt ein Integral nach z mit einem Integral auf einem Kreisring, also die Fläche welche übrigt bleibt wenn man die Grundfläche des Kegels von der Grundfläche des Zylinders wegzählt:
[mm] \integral_{0}^{2}{z²-z dz} \integral_{a}^{b}{\integral_{a}^{b}{1 dx} dy}
[/mm]
daraus folgt, geschrieben in Polarkoordinaten:
[mm] \integral_{0}^{2}{z²-z dz} \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{2-z}^{3}{r dr} d\nu}
[/mm]
wobei: [mm] \nu [/mm] [mm] [0,2\pi]
[/mm]
und r [2-z,3]
das Ergebnis des Integrals is [mm] 94/15\pi
[/mm]
Nun wie du siehst in dieser Rechnung wird das variieren des Radiuses in Zusammenhang mit der z Koordinate gebracht. Dein Weg erscheint mir neu, deshalb bin ich noch etwas skeptisch.
Ich frage mich eben 2 Sachen, ob z=r in diesem Fall gegeben ist und ob ich die Transformation, so wie du sie beim z Integral bereits gemacht hast, auch so stimmt.
Mein Lösungsweg bezogen auf die eben angeführte Rechnung wäre eben, dass ich den Radius in Bezug mit der Funktion bringe; und: Wie du in der Skizze gezeichnet hast: Was passiert wenn ich oberhalb der Ellipse arbeite:
Das heißt, stimmt die Formel auch dann noch wenn ich oberhalb des von mir markierten Bereiches arbeite:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Entschuldige die verspätete Antwort, hatte einige Probleme mit dem Internet
Grüße und Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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siehe auch
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=137022
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> Nun deine Erklärung klingt mir jetzt recht einleuchtend.
>
> Der Grund für meine Frage war ganz klar der, dass ich eine
> andere Vorgehensweise beim Lösen solcher Integrale gewohnt
> bin. Wenn ich darf, möchte ich kurz ein Beispiel anführen:
>
> Gesucht ist folgendes Integral:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\integral_{c}^{d}{\integral_{e}^{f}{f(x) dx} dy} dz}[/mm]
>
> das Integral ist auf T zu führen:
>
> [mm]T \{(x,y,z)\in \IR: x^2+y^2 \le 9, (z-2)^2 \le x^2+y^2, 0 \le z \le> 2\}[/mm]
>
> das ganze wird so angefangen, es wird auf z aufgelöst:
>
> [mm]z= 2 +/- \wurzel{x^2+y^2}[/mm]
>
> das ganze ergibt ein Integral nach z mit einem Integral auf
> einem Kreisring, also die Fläche welche übrigt bleibt wenn
> man die Grundfläche des Kegels von der Grundfläche des
> Zylinders wegzählt:
> [mm]\integral_{0}^{2}{z²-z dz} \integral_{a}^{b}{\integral_{a}^{b}{1 dx} dy}[/mm]
>
> daraus folgt, geschrieben in Polarkoordinaten:
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{z²-z dz} \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{2-z}^{3}{r dr} d\nu}[/mm]
>
> wobei: [mm]\nu[/mm] [mm][0,2\pi][/mm]
> und r [2-z,3]
>
> das Ergebnis des Integrals is [mm]94/15\pi[/mm]
>
> Nun wie du siehst in dieser Rechnung wird das variieren des
> Radiuses in Zusammenhang mit der z Koordinate gebracht.
> Dein Weg erscheint mir neu, deshalb bin ich noch etwas
> skeptisch.
> Ich frage mich eben 2 Sachen, ob z=r in diesem Fall
> gegeben ist und ob ich die Transformation, so wie du sie
> beim z Integral bereits gemacht hast, auch so stimmt.
Ich bin nun unsicher, ob ich überhaupt noch etwas schreiben muss, denn Leopold_Gast hat offenbar in einem anderen Form Deine Frage ebenfalls beantwortet: und er ist auf dasselbe Mehrfachintegral gekommen (siehe ![[]](/images/popup.gif) http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=137022).
>
> Mein Lösungsweg bezogen auf die eben angeführte Rechnung
> wäre eben, dass ich den Radius in Bezug mit der Funktion
> bringe; und: Wie du in der Skizze gezeichnet hast: Was
> passiert wenn ich oberhalb der Ellipse arbeite:
>
> Das heißt, stimmt die Formel auch dann noch wenn ich
> oberhalb des von mir markierten Bereiches arbeite:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Ich verstehe nicht, was Du mit 'im markierten Bereich "arbeiten"' meinst.
Die Kurve
[mm]\varphi \mapsto \vektor{\frac{1}{2}+r(\varphi)\cos(\varphi)\\r(\varphi)\sin(\varphi)\\r(\varphi)}, \text{ wobei } r(\varphi) := \frac{3}{2(2+\cos(\varphi))}[/mm]
ist nichts anderes als die Schnittellipse von Kegel und Ebene.
Das gesuchte Volumen wird exakt durch die Gesamtheit der Strecken gebildet, die von einem Punkt der Schnittellipse zu einem senkrecht darunter liegenden Punkt des Kegels führen: diese Strecken werden mit dem inneren Integral berücksichtigt, die beiden äusseren Integrale bewirken einfach das Aufsummieren dieser Strecken über alle Punkte der Schnittellipse.
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Man kann die Aufgabe ganz ohne Integralrechnung lösen, sozusagen (fast) mit Schulmathematik. Es ist ja nur der Rauminhalt eines Kegels zu bestimmen. Dessen Grundfläche ist eine Ellipse mit Inhalt [mm]G = \pi a b[/mm], worin [mm]a,b[/mm] die Halbachsen der Ellipse bezeichnen sollen. Wenn nun [mm]h[/mm] die Höhe des Kegels ist, so besitzt er das Volumen
[mm]V = \frac{1}{3} G h = \frac{1}{3} \pi a b h[/mm]
Alle wichtigen Dinge spielen sich in der [mm]xz[/mm]-Ebene ab, also sprechen wir zunächst einmal nur von der. Man zeichnet sich ein kartesisches [mm]xz[/mm]-Koordinatensystem mit den Geraden [mm]z = \pm x[/mm] und der Geraden [mm]u: \ z = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} x[/mm]. Die ersten beiden Geraden beschreiben bei Rotation um die [mm]z[/mm]-Achse den Kegel, die Gerade [mm]u[/mm] ist die Spurgerade der schrägen Ebene in der [mm]xz[/mm]-Ebene. Jene Ebene ist parallel zur [mm]y[/mm]-Achse, die man sich senkrecht zur Zeichenebene in das Zeichenblatt hinein verlaufend denken muß.
Jetzt berechnet man zunächst die Schnittpunkte [mm]P,Q[/mm] von [mm]u[/mm] mit den beiden anderen Geraden (bei sauberer Zeichnung kann man die sogar direkt ablesen). Ihr Abstand ist der Ellipsendurchmesser [mm]2a[/mm]. Pythagoras hilft:
[mm]a = \frac{\sqrt{5}}{2}[/mm]
Auch die Kegelhöhe kann man leicht ermitteln. Dazu ist der Abstand des Ursprungs von [mm]u[/mm] zu berechnen. Man bringt zum Beispiel [mm]u[/mm] auf Hessesche Normalform:
[mm]u: \ \ f(x,z) = 0[/mm]
und bekommt damit sofort die Kegelhöhe:
[mm]h = \left| f(0,0) \right| = \frac{3}{10} \sqrt{5}[/mm]
Jetzt fehlt nur noch die zweite Halbachse [mm]b[/mm]. Hier braucht man zum ersten und einzigen Mal die Dimension [mm]y[/mm]. Daher wird [mm](x,z)[/mm] zu [mm](x,y,z)[/mm] ergänzt. Die zweite Symmetrieachse [mm]v[/mm] der Ellipse geht durch den Mittelpunkt [mm]M = (m_x,0,m_z)[/mm] der Strecke [mm]PQ[/mm]. Dieser kann mit elementarer Vektorgeometrie ermittelt werden. Ferner verläuft [mm]v[/mm] parallel zur [mm]y[/mm]-Achse, hat also [mm](0,1,0)[/mm] als Richtungsvektor:
[mm]v: \ \ (x,y,z) = (m_x,0,m_z) + \lambda \cdot (0,1,0) \, , \ \ \lambda \in \mathbb{R}[/mm]
[mm]x,y,z[/mm] aus [mm]v[/mm] werden in die Kegelgleichung [mm]x^2 + y^2 = z^2[/mm] eingesetzt, um die Schnittpunkte von [mm]v[/mm] mit dem Kegel zu berechnen. Eigentlich braucht man die Schnittpunkte selbst gar nicht, die zugehörigen Parameterwerte [mm]\lambda[/mm] genügen. Weil der Richtungsvektor von [mm]v[/mm] nämlich normiert ist, gilt:
[mm]b = | \lambda | = \frac{\sqrt{3}}{2}[/mm]
Und jetzt alles zusammensetzen - das gibt [mm]V[/mm].
Und in der ganzen Lösung kommt kein einziges Integralzeichen vor!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Di 14.08.2007 | | Autor: | Somebody |
> Und in der ganzen Lösung kommt kein einziges
> Integralzeichen vor!
Du hast schon recht: es genügt die Halbachsen der Grundfläche des (auf der Spitze stehenden) elliptischen Kegels und dessen Höhe zu kennen um dessen Volumen berechnen zu können. Dennoch war die Aufgabe sicherlich als Übung in mehrdimensionaler Integralrechnung gedacht - und so habe ich sie auch zu beantworten versucht.
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Ich hatte das auch schon so verstanden, daß die Aufgabe mit Integralrechnung zu lösen ist. Wie könnte man nun mit dieser die elementare Lösung nachbauen?
Es erscheint sinnvoll, Schnitte parallel zur Grundfläche des Kegels durch die Figur zu legen, und zwar entlang der Ellipsenmittelpunkte. Man führt mit anderen Worten eine neue Basis [mm]i, j, k[/mm] ein:
[mm]i = \left( 1, 0 , -\frac{1}{2} \right), \ \ j = \left( 0 , \frac{\sqrt{3}}{2} , 0 \right), \ \ k = \left( - \frac{1}{2} , 0 , 1 \right)[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Vektoren [mm]i, j[/mm] führen von der Mitte der Kegelgrundfläche zu deren Rändern entlang der Halbachsen. (Die Koordinate [mm]\frac{\sqrt{3}}{2}[/mm] erklärt sich durch meinen vorigen Beitrag. Sie erscheint hier natürlich etwas künstlich. Man könnte ebenso 1 dafür nehmen, was die spätere Integration eine Idee weniger schön macht.) Der Vektor [mm]k[/mm] führt vom Ursprung zur Mitte der Kegelgrundfläche.
Jeder Vektor [mm](x,y,z)[/mm] kann bezüglich der neuen Basis dargestellt werden:
[mm](x,y,z) = u i + v j + w k \ \ \text{mit} \ u,v,w \in \mathbb{R}[/mm]
In der [mm]ij[/mm]-Ebene kann man dann noch Polarkoordinaten einführen:
[mm]u = r \cos{s}, \ \ v = r \sin{s}, \ \ w = t \ \ \text{mit} \ r \geq 0 , \ 0 \leq s < 2 \pi[/mm]
So bekommt man insgesamt
[mm](x,y,z) = r \sin{s} \cdot i + r \cos{s} \cdot j + t k[/mm]
oder ausgeschrieben:
[mm]x = r \cos{s} - \frac{1}{2} t \, , \ \ y = \frac{\sqrt{3}}{2} r \sin{s} \, , \ \ z = - \frac{1}{2} r \cos{s} + t[/mm]
Die Koordinaten [mm](r,s,t)[/mm] sind die "natürlichen Koordinaten" des Kegels. Als Funktionaldeterminante errechnet man
[mm]\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,s,t)} = \frac{3}{8} \sqrt{3} \, r[/mm]
Durch Einsetzen, Ausrechnen und Vereinfachen bekommt man die neuen Bedingungen für die Variablen [mm]r,s,t[/mm]:
(I) [mm]x^2 + y^2 \leq z^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ r \leq |t|[/mm]
(II) [mm]z \geq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ t \geq \frac{1}{2} r \cos{s}[/mm]
(III) [mm]z \leq \frac{3}{4} - \frac{1}{2} x \ \ \Leftrightarrow \ \ t \leq 1[/mm]
Für Polarkoordinaten gilt zusätzlich immer [mm]r \geq 0[/mm] und [mm]0 \leq s < 2 \pi[/mm].
Aus (I),(II) folgt: [mm]t \geq 0[/mm]. Wäre nämlich [mm]t<0[/mm], so gälte gemäß (II): [mm]0 > t \geq \frac{1}{2} r \cos{s} \geq - \frac{1}{2} r[/mm]. Das hieße: [mm]|t| \leq \frac{1}{2} r[/mm] und steht im Widerspruch zu (I). Also gilt: [mm]t \geq 0[/mm] (was man natürlich auch an der Zeichnung sieht, denn [mm]t[/mm] ist ja die Koordinate längs [mm]k[/mm] und "unterhalb der Kegelspitze" liegen keine Punkte unseres Bereiches). Bedingung (I) kann daher durch [mm]0 \leq r \leq t[/mm] ersetzt werden. Gilt dies, so folgt daraus: [mm]t \geq r \geq \frac{1}{2} r \geq \frac{1}{2} r \cos{s}[/mm]. Die Bedingung (II) ist also eine Folge der Bedingung (I), mit anderen Worten also überflüssig. Die ganze Integration bezüglich [mm](r,s,t)[/mm] erstreckt sich daher über
[mm]A: \ \ 0 \leq r \leq t \leq 1 \, , \ \ 0 \leq s \leq 2 \pi[/mm]
und für das Kegelvolumen [mm]V[/mm] erhält man
[mm]V = \frac{3}{8} \sqrt{3} \int_A r~\mathrm{d}(r,s,t) = \frac{3}{8} \sqrt{3} \int \limits_0^{2 \pi} \left( \int_0^1 \left( \int_0^t r~\mathrm{d}r \right)~\mathrm{d}t \right)~\mathrm{d}s = \frac{3}{8} \sqrt{3} \left( \int_0^{2 \pi} \mathrm{d}s \right) \cdot \left( \int_0^1 \left( \int_0^t r~\mathrm{d}r \right)~\mathrm{d}t \right)[/mm]
Das ist die Integrationsmethode, die der klassischen Formel [mm]V = \frac{1}{3} G h[/mm] aus meinem vorigen Beitrag entspricht.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Do 16.08.2007 | | Autor: | Zuggel |
Ich dnake herzlichst für die ganzen Antworten, ich habe mir jetzt alles ausgedruckt und werde mich jetzt intensivst damit beschäftigen.
Falls ich eine eurer Theorien nicht verstehe, werde ich nochmals einen Beitrag schreiben hier!
Ich danke euch, dass ihr euch die zeit genommen habt!
Danke, Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Fr 17.08.2007 | | Autor: | Zuggel |
Also, ich habe jetzt alle eure Integrale durchstudiert und mir ist aufgefallen, hier wird immer das Volumen des Kegels gesucht udn auch richtig berechnet.
Wenn ihr euch aber die Aufgabenstellung anschaut so seht ihr, dass durch die erste Formel das Integral unterhalb des Konuses gesucht wird.
Danke für eure Aufmerksamkeit!
Grüße
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> Also, ich habe jetzt alle eure Integrale durchstudiert und
> mir ist aufgefallen, hier wird immer das Volumen des Kegels
> gesucht udn auch richtig berechnet.
> Wenn ihr euch aber die Aufgabenstellung anschaut so seht
> ihr, dass durch die erste Formel
Du meinst [mm] $z^2\geq (x-1/2)^2+y^2$?
[/mm]
> das Integral unterhalb des Konuses gesucht wird.
Nein, diese Formel legt diese Interpretation der Aufgabenstellung nicht fest. Aber es ist schon möglich, dass die Aufgabe so interpretiert werden soll, wie Du dies im ersten Satz nach dem eigentlichen Aufgabentext schreibst. Falls dem tatsächlich so ist (dies müsste aber im Auftabentext selbst klar so formulert sein!), musst Du halt folgendes Mehrfachintegral ausrechnen:
[mm]\displaystyle V=\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{3}{2(2+\cos(\varphi))}} \int_0^r \; dz\; r\,dr\; d\varphi[/mm]
Wie Du siehst ändern sich bei dieser alternativen Interpretation des Aufgabentextes nur die Grenzen des inneren Integrals: sie werden sogar einfacher.
Ich glaube die Moral von der Geschicht' ist die: Dass man möglichst vollständige und klare Aufgabenstellungen im dafür vorgesehenen Bereich angeben und nicht etwa zentrale Teile der Aufgabenstellung mit dem eigenen Lösungsversuch vermischt nachliefern sollte: weil ein Leser dazu neigen könnte, diese nachgelieferten Aufgabenteile als blosse (eventuell: Fehl-)Interpretationen des Fragestellers aufzufassen (etwas in dieser Art scheint hier geschehen zu sein).
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> Also, ich habe jetzt alle eure Integrale durchstudiert und
> mir ist aufgefallen, hier wird immer das Volumen des Kegels
> gesucht udn auch richtig berechnet.
> Wenn ihr euch aber die Aufgabenstellung anschaut so seht
> ihr, dass durch die erste Formel das Integral unterhalb des
> Konuses gesucht wird.
Im Gegenteil: Die Bedingung [mm] $z^2\geq (x-1/2)^2+y^2$ [/mm] schliesst diese Interpretation des gesuchten Volumens sogar aus, denn dies bedeutet, dass ein solcher Punkt, sofern [mm] $z\geq [/mm] 0$ ist, oberhalb des Kegels liegt. Der Kegel ist ja Lösung der Gleichung [mm] $z^2=(x-1/2)^2+y^2$. [/mm] Die "erste Formel" besagt somit, dass der Betrag von $z$ auch grösser als [mm] $\sqrt{(x-1/2)^2+y^2}$ [/mm] sein darf: ist [mm] $z\geq [/mm] 0$, so bedeutet dies, dass ein solcher Punkt $(x|y|z)$ oberhalb der Kegelfläche liegt. (Der Fall $z<0$ interessiert nicht, weil dieser Teil der Kegelfläche mit der Ebene [mm] $z=1-\frac{x}{2}$ [/mm] kein beschränktes Volumen einschliesst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Zuggel |
Achso alles klar! Dankesehr.
Jedoch muss ich hinzufügen dass die Aufgabe als gesamtes so gestellt wurde, der einzige Text welcher geschrieben stand war: Man berechne das Volumen. Der Originaltext war auf italienisch.
Ich war eben der Meinung, dass die Angabe als Funktion zu sehen ist; also wenn ich z² kleiner gleich wähle so befinde ich mich innerhalb des Kegels und wenn ich z² größer gleich wähle, dann auserhalb. Deine Ansichtsweise ist mir neu, werde ich mir trotzdem auf alle Fälle einprägen. Dankesehr
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