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Forum "Integration" - Integration
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Integration: integral
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:00 Mo 24.09.2007
Autor: fuchsone

Aufgabe
Wir betrachten die Funktion

[mm] f:[0,\infty[ \to \IR f(x)=(-1)^{[x]} \* [/mm] 1/[x] + 1

wobei [x] die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x bezeichnet.

Man zeige dass das Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] erxistiert und berechne es.

ich versteh nicht wie ich nun [x] wählen soll
oder soll ich nur von f(x) die Stammfkt bilden und dann den limes bestimmen?

        
Bezug
Integration: Gaußklammer
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:15 Mo 24.09.2007
Autor: Bastiane

Hallo fuchsone!

> Wir betrachten die Funktion
>
> [mm]f:[0,\infty[ \to \IR f(x)=(-1)^{[x]} \*[/mm] 1/[x] + 1
>  
> wobei [x] die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x
> bezeichnet.
>
> Man zeige dass das Integral [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
> erxistiert und berechne es.
>  ich versteh nicht wie ich nun [x] wählen soll
>  oder soll ich nur von f(x) die Stammfkt bilden und dann
> den limes bestimmen?

Kennst du die []Gaußklammer [mm] \lfloor{x}\rfloor [/mm] oder vielleicht [mm] \lceil{x}\rceil? [/mm] So ähnlich ist hier wohl auch dein [x] gemeint, und damit sollst du wohl "einfach nur" das Integral lösen.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
        
Bezug
Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:43 Mo 24.09.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> Wir betrachten die Funktion
>
> [mm]f:[0,\infty[ \to \IR f(x)=(-1)^{[x]} \*[/mm] 1/[x] + 1

Heisst die wirklich so? Denn so ist sie für [mm]0\le x<1[/mm] nicht definiert: für solche x ist [x]=0 und 1/[x] undefiniert.

Oder meinst du:

[mm]f(x)=-1^{[x]}\bruch{1}{[x]+1[/mm]?

Mal dir doch diese Funktion auf, dann siehst du auch, wie du das Integral berechnen kannst.

Viele Grüße
  Rainer


Bezug
                
Bezug
Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:04 Mo 24.09.2007
Autor: fuchsone

ja genau so sieht es aus ich kanns nicht so gut wie du^^

wenn ich mir werte ausrechen will wie z.B. [mm] -1^{-0,5} [/mm] zeigt mir der taschenrechner E irgenwie rechne ich falsch aber wieso kann ich nicht für [x] eine beliebige zahl einsetzten?

Bezug
        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 Mo 24.09.2007
Autor: schachuzipus

Hallo fuchsone,

zunächst betrachten wir nur [mm] $x\ge [/mm] 0$, da [mm] $\int\limits_{0}^{\infty}f(x)\, [/mm] dx$ zu lösen ist.

Wenn du dir nochmal genau die Definition von $[x]$ ansiehst oder den

Verlauf des Graphen auf Bastianes wikipedia-link, dann siehst du doch,

dass man $[x]$ "intervallweise" definieren kann.

Es ist $[x]=0$ auf dem Intervall $[0;1)$ , $[x]=1$ auf dem Intervall $[1;2)$ , $[x]=2$ auf $[2;3)$ usw.

Damit kann man doch mal versuchen, $f(x)$ anschaulicher aufzuschreiben.

Wenn ich mich nicht ganz vertan habe, ist das m.E.

[mm] $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2k+1}, & \mbox{für } x\in [2k;2k+1) \\-\frac{1}{2k+2}, & \mbox{für } x\in [2k+1;2k+2)\end{cases}$ [/mm] für $k=0,1,....$

Übertrage diese Definition mal in ein Koordinatensystem und du wirst sehen , dass sich das Integral aus lauter Rechtecksummen zusammensetzt...


Stichwort "alternierende harmonische Reihe"...


LG

schachuzipus

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