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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Mo 24.09.2007 | | Autor: | fuchsone |
| Aufgabe | Wir betrachten die Funktion
[mm] f:[0,\infty[ \to \IR f(x)=(-1)^{[x]} \* [/mm] 1/[x] + 1
wobei [x] die größte ganze Zahl kleiner oder gleich x bezeichnet.
Man zeige dass das Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] erxistiert und berechne es. |
ich versteh nicht wie ich nun [x] wählen soll
oder soll ich nur von f(x) die Stammfkt bilden und dann den limes bestimmen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Mo 24.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wir betrachten die Funktion
>
> [mm]f:[0,\infty[ \to \IR f(x)=(-1)^{[x]} \*[/mm] 1/[x] + 1
Heisst die wirklich so? Denn so ist sie für [mm]0\le x<1[/mm] nicht definiert: für solche x ist [x]=0 und 1/[x] undefiniert.
Oder meinst du:
[mm]f(x)=-1^{[x]}\bruch{1}{[x]+1[/mm]?
Mal dir doch diese Funktion auf, dann siehst du auch, wie du das Integral berechnen kannst.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Mo 24.09.2007 | | Autor: | fuchsone |
ja genau so sieht es aus ich kanns nicht so gut wie du^^
wenn ich mir werte ausrechen will wie z.B. [mm] -1^{-0,5} [/mm] zeigt mir der taschenrechner E irgenwie rechne ich falsch aber wieso kann ich nicht für [x] eine beliebige zahl einsetzten?
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Hallo fuchsone,
zunächst betrachten wir nur [mm] $x\ge [/mm] 0$, da [mm] $\int\limits_{0}^{\infty}f(x)\, [/mm] dx$ zu lösen ist.
Wenn du dir nochmal genau die Definition von $[x]$ ansiehst oder den
Verlauf des Graphen auf Bastianes wikipedia-link, dann siehst du doch,
dass man $[x]$ "intervallweise" definieren kann.
Es ist $[x]=0$ auf dem Intervall $[0;1)$ , $[x]=1$ auf dem Intervall $[1;2)$ , $[x]=2$ auf $[2;3)$ usw.
Damit kann man doch mal versuchen, $f(x)$ anschaulicher aufzuschreiben.
Wenn ich mich nicht ganz vertan habe, ist das m.E.
[mm] $f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2k+1}, & \mbox{für } x\in [2k;2k+1) \\-\frac{1}{2k+2}, & \mbox{für } x\in [2k+1;2k+2)\end{cases}$ [/mm] für $k=0,1,....$
Übertrage diese Definition mal in ein Koordinatensystem und du wirst sehen , dass sich das Integral aus lauter Rechtecksummen zusammensetzt...
Stichwort "alternierende harmonische Reihe"...
LG
schachuzipus
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