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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 So 10.02.2008 | | Autor: | Arastrus |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)= x^2/(a+x^2) dx} [/mm] |
Lösung ist x - [mm] \wurzel{a} [/mm] * tan^(-1)*(x/ [mm] \wurzel{a}) [/mm] nach unserem Buch.
1. Kommen wirklich solche Integrale im Abitur vor?!
2. Wie zum Teufel komme ich hier auf arctan?
Ab morgen wieder Schule, dann muss ich euch in meiner Vorbereitungszeit nicht mehr belästigen ;) Vielen lieben Dank an die Helfer.
Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 So 10.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Arastrus!
Formen wir den Bruch zunächst um, bevor wir für einen Teilbruch eine Substitution durchführen:
[mm] $$\bruch{x^2}{a+x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a+x^2-a}{a+x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a+x^2}{a+x^2}-\bruch{a}{a+x^2} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{a}{a*\left(1+\bruch{x^2}{a}\right)} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{1}{1+\left(\bruch{x}{\wurzel{a}}\right)^2}$$
[/mm]
Nun Substitution: $x \ := \ [mm] \wurzel{a}*\tan(u)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 So 10.02.2008 | | Autor: | Arastrus |
Deine Umformung verstehe ich und habe ich auch bereits davor durchgeführt.
Wenn ich aber nun substituiere, wie du es sagst, kürzt sich meiner Meinung nach Wurzel(a) und dann habe ich nur noch 1-1/(1+tan²(u)) oO
Bin ich meschugge oder habe ich dich falsch verstanden?
Lg
PS: Kommt so etwas dran?!
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Hallo Arastrus,
du musst ja auch das "dx" im Integral durch einen Ausdruck in $u$ ersetzen.
Also mit Loddars Umformung und Substituitionsansatz [mm] $x:=\sqrt{a}\cdot{}\tan(u)$ [/mm] ergibt sich:
[mm] $x'=\frac{dx}{du}=\frac{\sqrt{a}}{\cos^2(u)}$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{\sqrt{a}}{\cos^2(u)} [/mm] \ du$
Damit kannst du das Integral schreiben (nur das hintere jetzt)
[mm] $\int{\frac{1}{1+\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)^2} \ dx}=\int{\frac{1}{1+\tan^2(u)} \ \frac{\sqrt{a}}{\cos^2(u)} \ du}=\sqrt{a}\int{\frac{1}{1+\tan^2(u)} \ \frac{du}{\cos^2(u)}}$
[/mm]
Nun kannst du [mm] $\tan(x)$ [/mm] schreiben als [mm] $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
[/mm]
Dann den Nenner gleichnamig machen, alles zusammenfassen und alles löst sich in Wohlgefallen auf ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 So 10.02.2008 | | Autor: | Arastrus |
Ich nap, danke^^
Alles klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 So 10.02.2008 | | Autor: | Arastrus |
Also ich weiß nicht, wie ich so die Lösung aus dem Buch bekommen soll, aber es übersteigt ganz ehrlich auch das, was wir gemacht haben und können sollten. Mir ist weder klar, wie wir auf den Substitutionsansatz kommen, noch, wie ich vorgehen muss, wenn wir von der Integration einer Variablen auf die Integration einer anderen überleiten.
Aber ich denke nicht, dass ich für so etwas vorbereitet sein muss, also lass ich diese dumme Aufgabe...
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Hallo Arastrus,
auf solch "komische" Substitutionsansätze kommt man i.d.R. nur durch einige Erfahrung, wenn man es mal ähnlich gesehen hat und durch viel Praxix
Sowas wird schwerlich im Abi drankommen, zumindest nicht die Herleitung, man sollte sich aber schon merken, dass [mm] $\int{\frac{1}{1+x^2} \dx}=\arctan(x)+C$ [/mm] ist 
Mit der obigen Substitution kann man das halt herleiten...
Ich drösel das mal bis zum Schluss auf, dann hast du das mal gesehen
Falls es nicht interessiert, überlies es einfach
Also, wir waren bei [mm] $\sqrt{a}\int{\frac{1}{1+\tan^2(u)} \ \frac{du}{\cos^2(u)}}$ [/mm] angelangt, soweit ok?
Das nun umformen: $... [mm] =\sqrt{a}\int{\frac{1}{1+\frac{\sin^2(u)}{\cos^2(u)}} \ \frac{du}{\cos^2(u)}}=\sqrt{a}\int{\frac{1}{\frac{\cos^2(u)}{\cos^2(u)}+\frac{\sin^2(u)}{\cos^2(u)}} \ \frac{du}{\cos^2(u)}}=\sqrt{a}\int{\frac{1}{\frac{\sin^2(u)+\cos^2(u)}{\cos^2(u)}} \ \frac{du}{\cos^2(u)}}$
[/mm]
[mm] $=\sqrt{a}\int{\frac{1}{\frac{1}{\blue{\cos^2(u)}}} \ \frac{du}{\blue{\cos^2(u)}}}=\sqrt{a}\int{1 \ du}$
[/mm]
[mm] $=\sqrt{a}\cdot{}u$
[/mm]
Das nun resubstituieren: mit [mm] $x=\sqrt{a}\cdot{}\tan(u)$ [/mm] ist [mm] $\tan(u)=\frac{x}{\sqrt{a}}$, [/mm] also [mm] $u=\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)$
[/mm]
Also insgesamt [mm] $\int{\frac{x^2}{a+x^2} \ dx}=\int{\left(1-\frac{1}{1+\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)^2}\right) \ dx}=\int{1 \ dx}-\int{\frac{1}{1+\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)^2} \ dx}=x-\sqrt{a}\cdot{}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{a}}\right)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 So 10.02.2008 | | Autor: | Arastrus |
Vielen Dank, dass dus noch aufgeschrieben hast.
Im Studium sicher hilfreich, das schonmal gesehen zu haben^^
Sry, war bisl batzig, weil sie mich echt angekotzt hat ;)
Danke für deine Mühen.
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