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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Xamy |
| Aufgabe | | Berechne das Integral: |
hallo leute,
ich komme mit folgender Integration einfach nicht weiter:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{cos^{2}x}{sin^{4}x}dx}
[/mm]
soll man das jetzt erst irgendwie vereinfachen oder muss man hier mit der partiellen integration arbeiten? wenn ich es irgendwie vereinfachen kann, kann ich dann auch einfach die substitution nehmen?
kan mir da irgendjemand weiterhelfen?
das wäre super und schonmal vielen dank.
lg xamy
ich habe dies frage in keinem anderen forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Sa 19.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Versuch es mal mit [mm] \cos²(x)+\sin²(x)=1
[/mm]
Also:
[mm] \integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx
[/mm]
[mm] =\integral\bruch{1-\sin²(x)}{\sin^{4}(x)}dx
[/mm]
[mm] =\integral\bruch{1}{\sin^{4}(x)}dx-\integral\bruch{\sin²(x)}{\sin^{4}(x)}dx
[/mm]
=...
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Xamy |
also kann ich dann [mm] I_{2} [/mm] kürzen so dass da steht
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{sin^{2}x} dx} [/mm]
und das dann integriren ergiebt
=-cot(x)
stimmt das soweit?
und wie soll ich mit Integral 1 verfahren, da find ich leider nichts!
lieben dank erstmal soweit
xamy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Sa 19.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Beim ersten Intggral kommst du mit der Substitution [mm] z=\sin(x) [/mm] weiter
Also
[mm] \bruch{1}{\sin^{4}(x)}=\bruch{1}{z^{4}}.
[/mm]
Als Ergebnis des ersten Integrals bekommst du [mm] -\bruch{cotan(x)*((cosekans(x))²+2)}{3}
[/mm]
Das zweite Integral stimmt.
Beide Ergebnisse kommen ![[]](/images/popup.gif) hierher
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Xamy |
hallo,
hmm, tut mir leid aber das verstehe ich überhaupt nicht.was zum beispiel ist "cosekans"?
und wieso nützt mir die substitution, da hab ich dan ja immernoch hoch vier zu stehen.
gruß
xamy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Sa 19.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du den Kosekans nicht kennst, ist es erstmal egal.
Aber:
[mm] \bruch{1}{z^{4}}=z^{-4}
[/mm]
Und [mm] F(z)=\bruch{1}{-4+1}x^{-4+1}=-\bruch{1}{3}z^{-3}=-\bruch{1}{3z³}
[/mm]
Alternativ kannst du auch [mm] z=\sin^{4}(x) [/mm] substituieren.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 Sa 19.04.2008 | | Autor: | Xamy |
hallo
also, wenn ich es so versuche
sinx=z
dann [mm] sin^{4}=z^{4}
[/mm]
also [mm] \bruch{1}{z^{4}}=z^{-4}
[/mm]
dann hast du integriert, glaube ich und kommst im endeffekt auf das ergebnis
[mm] -\bruch{1}{3z^{3}}
[/mm]
aber fehlt denn da jetzt nicht noch dz beim integrieren?
also [mm] \bruch{dz}{dx}=cos(z)
[/mm]
und dann so weiter?
[mm] -\bruch{1}{3z^{3}} [/mm] * [mm] \bruch{dz}{cos(z)}
[/mm]
und nun wieder zurücksubstituieren?
das kommt mir irgendwie komisch vor.
vielleicht hat ja noch jemand einen tip für mich.
lg
xamy
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Hallo Xamy,
> hallo
>
> also, wenn ich es so versuche
>
> sinx=z
>
> dann [mm]sin^{4}=z^{4}[/mm]
>
> also [mm]\bruch{1}{z^{4}}=z^{-4}[/mm]
> dann hast du integriert, glaube ich und kommst im
> endeffekt auf das ergebnis
> [mm]-\bruch{1}{3z^{3}}[/mm]
>
> aber fehlt denn da jetzt nicht noch dz beim integrieren?
> also [mm]\bruch{dz}{dx}=cos(z)[/mm]
>
> und dann so weiter?
> [mm]-\bruch{1}{3z^{3}}[/mm] * [mm]\bruch{dz}{cos(z)}[/mm]
>
> und nun wieder zurücksubstituieren?
> das kommt mir irgendwie komisch vor.
>
> vielleicht hat ja noch jemand einen tip für mich.
Es gilt ja: [mm]\bruch{1}{\sin^{2}\left(x\right)}=\cot^{2}\left(x\right)+1[/mm]
Um das Integral [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\sin^{4}\left(x\right)} dx}[/mm] zu berechnen,wähle die Substitution [mm]x=arccot\left(u\right)[/mm]
Dann ist [mm]dx=-\bruch{1}{1+u^{2}} \ du[/mm]
> lg
> xamy
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 20.04.2008 | | Autor: | Xamy |
hallo
also wenn ich x=arccot(u) substitueire, dann hab ich ja
[mm] \bruch{1}{sin^{2}(arccot(u))}*\bruch{-1}{1+u^{2}}
[/mm]
ich denke, wenn ich den letzten teil integriere, dann kom ich auf den arctan, stimmt das?
aber ich glaube ja, weil da ein * zwischen steht, kann man nicht einfach die beiden terme einzeln integrieren. jedenfalls weiß ich auch mit dem ersten term nichts anzufangen.
es wäre nett, wenn mir das noch jemand erklären könnte
liebe grüße
xamy
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Vergiss die Substitution und mach es einfach so:
[mm] F(x)=\integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx
[/mm]
$ [mm] =\integral\bruch{1-\sin²(x)}{\sin^{4}(x)}dx [/mm] $
$ [mm] =\integral\bruch{1}{\sin^{4}(x)}dx-\integral\bruch{\sin²(x)}{\sin^{4}(x)}dx [/mm] $
[mm] =\integral\frac{1}{\sin^{2}(x)}*\frac{1}{\sin^{2}(x)}dx+\frac{cos(x)}{sin(x)} [/mm] Und jetzt wenden wir mal partielle Integration an!
<<Mit [mm] \frac{d}{dx}\frac{1}{sin(x)^2}=-2\frac{cos(x)}{sin^3(x)}
[/mm]
<<und [mm] \integral{\frac{1}{sin^{2}(x)}dx}=-\frac{cos(x)}{sin(x)} [/mm] erhalten wir:
[mm] =-\frac{cos(x)}{sin^3(x)}-\integral{2\frac{cos(x)}{sin^3(x)}\frac{cos(x)}{sin(x)}dx}+\frac{cos(x)}{sin(x)} [/mm]
[mm] =-\frac{cos(x)}{sin^3(x)}-2\integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx+\frac{cos(x)}{sin(x)}
[/mm]
[mm] =-cot(x)(\frac{1}{sin^2(x)}-1)-2\integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx
[/mm]
Jetzt wissen wir also:
[mm] \integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx=-cot(x)(\frac{1}{sin^2(x)}-1)-2\integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx
[/mm]
[mm] F(x)=-cot(x)(\frac{1}{sin^2(x)}-1)-2*F(x)
[/mm]
Und daraus folgt:
[mm] 3*F(x)=-cot(x)(\frac{1}{sin^2(x)}-1)
[/mm]
[mm] F(x)=-\frac{cot(x)}{3}(\frac{1}{sin^2(x)}-1)=\integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx [/mm]
Was du jetzt noch beliebig umformen kannst, um irgendwann auf [mm] -\frac{1}{3}cot^3(x) [/mm] zu kommen.
Edit:
Hier noch die Umformung:
[mm] cot^2(x)=\frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}=\frac{1-sin^2(x)}{sin^2(x)}=\frac{1}{sin^2(x)}-1
[/mm]
Damit folgt
[mm] -\frac{cot(x)}{3}*(\frac{1}{sin^2(x)}-1)=-\frac{cot(x)}{3}*cot^2(x)=-\frac{1}{3}cot^3(x)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 So 20.04.2008 | | Autor: | Xamy |
Vergiss die Substitution und mach es einfach so:
$ [mm] F(x)=\integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx [/mm] $
$ [mm] =\integral\bruch{1-\sin²(x)}{\sin^{4}(x)}dx [/mm] $
$ [mm] =\integral\bruch{1}{\sin^{4}(x)}dx-\integral\bruch{\sin²(x)}{\sin^{4}(x)}dx [/mm] $
diese umformung verstehe ich hier leider nicht, also den zweiten teil davon
$ [mm] =\integral\frac{1}{\sin^{2}(x)}\cdot{}\frac{1}{\sin^{2}(x)}dx+\frac{cos(x)}{sin(x)} [/mm] $ Und jetzt wenden wir mal partielle Integration an!
was genau ist hier dein u und v und die jeweilige ableitung davon, da seh ich nicht durch
<<Mit $ [mm] \frac{d}{dx}\frac{1}{sin(x)^2}=-2\frac{cos(x)}{sin^3(x)} [/mm] $
<<und $ [mm] \integral{\frac{1}{sin^{2}(x)}dx}=-\frac{cos(x)}{sin(x)} [/mm] $ erhalten wir:
$ [mm] =-\frac{cos(x)}{sin^3(x)}-\integral{2\frac{cos(x)}{sin^3(x)}\frac{cos(x)}{sin(x)}dx}+\frac{cos(x)}{sin(x)} [/mm] $
$ [mm] =-\frac{cos(x)}{sin^3(x)}-2\integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx+\frac{cos(x)}{sin(x)} [/mm] $
und diese umformung verstehe ich auch nicht, aber ich denke, das ist fast das gleiche wie oben
$ [mm] =-cot(x)(\frac{1}{sin^2(x)}-1)-2\integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx [/mm] $
Jetzt wissen wir also:
$ [mm] \integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx=-cot(x)(\frac{1}{sin^2(x)}-1)-2\integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx [/mm] $
$ [mm] F(x)=-cot(x)(\frac{1}{sin^2(x)}-1)-2\cdot{}F(x) [/mm] $
Und daraus folgt:
$ [mm] 3\cdot{}F(x)=-cot(x)(\frac{1}{sin^2(x)}-1) [/mm] $
$ [mm] F(x)=-\frac{cot(x)}{3}(\frac{1}{sin^2(x)}-1)=\integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx [/mm] $
Was du jetzt noch beliebig umformen kannst, um irgendwann auf $ [mm] -\frac{1}{3}cot^3(x) [/mm] $ zu kommen.
ansonsten aber vielen dank, du hast mir schon sehr viel weitergeholfen :)
lg
xamy
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<<$ [mm] F(x)=\integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx [/mm] $
<<$ [mm] =\integral\bruch{1-\sin²(x)}{\sin^{4}(x)}dx [/mm] $
[mm] <<=\integral\bruch{1}{\sin^{4}(x)}dx-\integral\bruch{\sin²(x)}{\sin^{4}(x)}dx [/mm]
<<
<<diese umformung verstehe ich hier leider nicht, also den zweiten teil davon
Das ist dasselbe, was M.Rex schon geschrieben hat. Also [mm] cos^2(x) [/mm] durch [mm] 1-sin^2(x) [/mm] (trigonometrischer Pythagoras) ersetzen und dann Distributivgesetzt anwenden.
[mm] <<=\integral\frac{1}{\sin^{2}(x)}\cdot{}\frac{1}{\sin^{2}(x)}dx+\frac{cos(x)}{sin(x)} [/mm] <<Und jetzt wenden wir mal partielle Integration an!
<<
<<was genau ist hier dein u und v und die jeweilige ableitung davon, da seh ich nicht durch
Der Integrand besteht ja aus 2 gleichen Faktoren, also kannst du dir das aussuchen.
[mm] u(x)=\frac{1}{sin^2(x)}
[/mm]
[mm] v(x)=\frac{1}{sin^2(x)}
[/mm]
Mit [mm] u'(x)=\frac{d}{dx}\frac{1}{sin(x)^2}=-2\frac{cos(x)}{sin^3(x)}
[/mm]
und [mm] V(x)=\integral{\frac{1}{sin^{2}(x)}dx}=-\frac{cos(x)}{sin(x)} [/mm] erhalten wir:
Und hier:
[mm] <<=-\frac{cos(x)}{sin^3(x)}-\integral{2\frac{cos(x)}{sin^3(x)}\frac{cos(x)}{sin(x)}dx}+\frac{cos(x)}{sin(x)} [/mm]
[mm] <<=-\frac{cos(x)}{sin^3(x)}-2\integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx+\frac{cos(x)}{sin(x)} [/mm]
<<und diese umformung verstehe ich auch nicht, aber ich denke, das ist fast das gleiche wie oben
Hier habe ich jetzt die partielle Integration ausgeführt:
[mm] \integral\frac{1}{\sin^{2}(x)}\cdot{}\frac{1}{\sin^{2}(x)}dx+\frac{cos(x)}{sin(x)}=\integral{v(x)*u(x)}+\frac{cos(x)}{sin(x)} [/mm]
[mm] =V(x)*u(x)-\integral{V(x)*u'(x)dx}+\frac{cos(x)}{sin(x)}
[/mm]
[mm] =-\frac{cos(x)}{sin^3(x)}-\integral{2\frac{cos(x)}{sin^3(x)}\frac{cos(x)}{sin(x)}dx}+\frac{cos(x)}{sin(x)} [/mm]
Und noch ein wenig gekürzt:
[mm] -\frac{cos(x)}{sin^3(x)}-2\integral\bruch{\cos²(x)}{\sin^{4}(x)}dx+\frac{cos(x)}{sin(x)} [/mm]
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