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Hallo zusammen. Ich habe leider ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
[mm] \integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(cosx+sinx)dx
[/mm]
Ich hatte mir überlegt, wie ich die Integration am besten durchführe. ich hatte zuerst an partieller Integration gedacht, weil wir ja im Prinzip ein Produkt haben. Allerdings führt mich das irgendwie nicht zum Ziel. Ich könnte im prinzip unendlich oft partiell integrieren und komme einfach nicht zum Ziel.
Ich hatte hierzu schonmal eine Aufgabe. die lautete [mm] \integral^{\pi}_{0}e^xcosxdx [/mm] auch hier bin ich einfach nicht zum ziel gekommen. Wie muss ich an solche Aufgaben rangehen???
MFG domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:03 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also ich hab einfach mal [mm] \integral_{}^{}{e^{x}cos x dx} [/mm] mit der partiellen Integration berechnet,wodurch man genau dein gesuchtes Integral erhält.
[mm] \integral_{}^{}{e^{x}cos(x) dx}=e^{x}*sinx-\integral_{}^{}{e^{x}sin(x) dx} [/mm] | + [mm] \integral_{}^{}{e^{x}sin(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{e^{x}(cos(x)+sin(x)) dx}=e^{x}*sinx
[/mm]
Gruß
Christian
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Okay langsam bitte 
Also gut mein erstes Problem war die Aufgabe:
[mm] \integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(cosx+sinx)dx
[/mm]
Deine Antwort wie ich an diese Aufgabe rangehen kann habe ich diesbezüglich leider nicht ganz verstanden.
mein zweites Problem war, dass ich schonmal ein anderes Problem mit folgender Aufgabe hatte:
[mm] \integral^{\pi}_{0}e^xsin(x)dx [/mm] (P.S. hatte mich im ersten Thread bei dieser Aufgabe verschrieben)
Beide Aufgaben gehören nicht unmittelbar zusammen. Aber mein Problem für beide Aufgaben ist dasselbe. Nämlich, dass wenn ich mit der partiellen Integration rangehe, nicht genau weiß, wann ich hier zum Ende kommen soll. Ich probiers mal selber zur ersten Aufgabe:
[mm] \integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(cosx+sinx)dx
[/mm]
Partielle Integration verläuft wie folgt: [mm] \integral^{b}_{a}u(x)v'(x)dx=|u(x)v(x)|^{b}_{a}-\integral^{b}_{a}u'(x)v(x)dx
[/mm]
[mm] \integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(cosx+sinx)dx [/mm] ich wähle nun [mm] e^x [/mm] als die zu integrierende Funktion, also:
u(x)=cos(x)+sin(x), u'(x)=-sin(x)+cos(x)
[mm] v'(x)=e^x, v(x)=e^x
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(cosx+sinx)dx=|e^x(cosx+sinx)|^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}-\integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(-sin(x)+cos(x))dx
[/mm]
Und nun ist mein Problem eigentlich, dass ich für das letzte Integral also für [mm] -\integral^{b}_{a}u'(x)v(x)dx [/mm] immer eine Form erhalte, die ich eigentlich beliebig oft weiter partiell integrieren könnte. Aber wann muss ich aufhören???
Für die Zweite Aufgabe, also [mm] \integral^{\pi}_{0}e^xsin(x)dx [/mm] wurde mir mal gesagt, dass ich das ganze zweimal partiell integrieren soll, jeweils [mm] e^x [/mm] als die zu integrierende Funtkion wählen soll und dann, nachdem ich zweimal partiell integriert habe durch 2 teilen soll. kann ich etwas ähnliches auf die erste Aufgabe anwenden???
MFG domenigge135
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Hallo domenigge,
> Okay langsam bitte
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> Also gut mein erstes Problem war die Aufgabe:
>
> [mm]\integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(cosx+sinx)dx[/mm]
>
> Deine Antwort wie ich an diese Aufgabe rangehen kann habe
> ich diesbezüglich leider nicht ganz verstanden.
>
> mein zweites Problem war, dass ich schonmal ein anderes
> Problem mit folgender Aufgabe hatte:
>
> [mm]\integral^{\pi}_{0}e^xsin(x)dx[/mm] (P.S. hatte mich im ersten
> Thread bei dieser Aufgabe verschrieben)
>
> Beide Aufgaben gehören nicht unmittelbar zusammen. Aber
> mein Problem für beide Aufgaben ist dasselbe. Nämlich, dass
> wenn ich mit der partiellen Integration rangehe, nicht
> genau weiß, wann ich hier zum Ende kommen soll. Ich
> probiers mal selber zur ersten Aufgabe:
>
> [mm]\integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(cosx+sinx)dx[/mm]
>
> Partielle Integration verläuft wie folgt:
> [mm]\integral^{b}_{a}u(x)v'(x)dx=|u(x)v(x)|^{b}_{a}-\integral^{b}_{a}u'(x)v(x)dx[/mm]
>
> [mm]\integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(cosx+sinx)dx[/mm] ich wähle
> nun [mm]e^x[/mm] als die zu integrierende Funktion, also:
> u(x)=cos(x)+sin(x), u'(x)=-sin(x)+cos(x)
> [mm]v'(x)=e^x, v(x)=e^x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(cosx+sinx)dx=|e^x(cosx+sinx)|^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}-\integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(-sin(x)+cos(x))dx[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Schreibe das alles mal ohne Grenzen auf, das verwirrt nur, berechne also zuerst das unbestimmte Integral, die Grenzen kannst du am Ende dranschreiben 
Die erste partielle Integration hast du richtig hinbekommen, zeihe nun ein "-" aus dem verbleibenden Integral, dann bekomst du $...+\int{e^x{(\sin(x)-\cos(x)) \ dx}$
Das nun nochmal partiell integrieren, dann erhältst du wieder dein Ausgangsintegral.
Du bekommst also eine Gleichung derart $\int{e^x(\sin(x)+\cos(x)) \ dx}= .... -\int{e^x(\sin(x)+\cos(x)) \ dx}$
Stelle die Gleichung dann nach diesem Integral um ...
Dann wieder die Grenzen dranschreiben
>
> Und nun ist mein Problem eigentlich, dass ich für das
> letzte Integral also für [mm]-\integral^{b}_{a}u'(x)v(x)dx[/mm]
> immer eine Form erhalte, die ich eigentlich beliebig oft
> weiter partiell integrieren könnte. Aber wann muss ich
> aufhören???
Wenn du dein Ausgangsintegral wieder erhältst, dann kannst du nämlich die Gleichung genau danach umstellen/auflösen ...
>
> Für die Zweite Aufgabe, also [mm]\integral^{\pi}_{0}e^xsin(x)dx[/mm]
> wurde mir mal gesagt, dass ich das ganze zweimal partiell
> integrieren soll, jeweils [mm]e^x[/mm] als die zu integrierende
> Funtkion wählen soll und dann, nachdem ich zweimal partiell
> integriert habe durch 2 teilen soll. kann ich etwas
> ähnliches auf die erste Aufgabe anwenden??? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau so ist es auch hier richtig, probiere es einfach mal ...
Das ist ja das Schöne an den trigonometrischen Funktionen: Integrale oder Ableitungen wiederholen sich irgendwann wieder
>
> MFG domenigge135
LG
schachuzipus
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Alles klar ich rechne das später nochmal und melde mich dann nochmal. Dankeschön für deine Hilfe.
Eine Frage habe ich allerdings noch. Was könnte ich bei folgender Aufgabe, bei der die Stammfunktion berechnet werden soll falsch machen???
[mm] h(x)=cos^2(x)
[/mm]
ich integriere durch substitution und wähle t=cos(x) [mm] \Rightarrow dx=\bruch{dt}{-sin(x)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{-sin(x)}\integral(t)^2dt
[/mm]
so würde ich das bis hierhi wählen, denke aber, dass das grottenfalsch ist.
MFG domenigge135
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hallo!
Ich weiß ja nicht was du da gerade machst, aber das müsste wie folgt aussehen
[mm] \integral_{a}^{b}{cos^{2}(x) dx}.
[/mm]
Wir substituieren: [mm] t=cos(x)\Rightarrow x=arccos(t)\Rightarrow dx=\bruch{d(arccos(t))}{dt}dt
[/mm]
Nun setze dies ein.
Ob das die Situation leichter macht...
Ich würde es mit einer Produktintegration versuchen.
Grüße Elvis.
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Okay sowas hab ich noch nie gesehen!!!
Ich probiers lieber mit partieller Integration indem ich zu [mm] \integral{cos(x)cos(x)dx} [/mm] umschreibe.
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Also gut ich habe bisher folgendes ausgerechnet:
[mm] \integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(cosx+sinx)dx=|e^x(cosx+sinx)|^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}+\integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(sin(x)-cos(x))dx=|e^x(sin(x)-cos(x)|^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}-\integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(cos(x)+sin(x))dx
[/mm]
Das mit dem Umstellen der GLeichung von [mm] \int{e^x(\sin(x)+\cos(x)) \ dx}= [/mm] .... [mm] -\int{e^x(\sin(x)+\cos(x)) \ dx} [/mm] musst du mir nochmal erklären. Das versteh ich noch nicht so ganz!!!
MFG domenigge135
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Hallo nochmal,
> Also gut ich habe bisher folgendes ausgerechnet:
>
> [mm]\integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(cosx+sinx)dx=|e^x(cosx+sinx)|^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}+\integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(sin(x)-cos(x))dx=|e^x(sin(x)-cos(x)|^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}-\integral^{2\pi}_{\bruch{\pi}{2}}e^x(cos(x)+sin(x))dx[/mm]
Ich verstehe den letzten Umformungsschritt nicht ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wenn du in der Mitte nochmal partiell integrierst, bekommst du:
[mm] $\blue{\int{e^x(\cos(x)+\sin(x)) \ dx}}$
[/mm]
[mm] $=e^x(\cos(x)+\sin(x))-\int{e^x(-\sin(x)+\cos(x)) \ dx}$
[/mm]
[mm] $=e^x(\cos(x)+\sin(x))+\int{e^x(\sin(x)-\cos(x)) \ dx}$ [/mm] soweit hast du das auch, nun nochmal part. int.
[mm] $=\underbrace{e^x(\cos(x)+\sin(x))+e^x(\sin(x)-\cos(x))}_{=2e^x\sin(x)}\blue{-\int{e^x(\cos(x)+\sin(x)) \ dx}}$
[/mm]
Nun auf beiden Seiten der Gleichung [mm] $+\int{e^x(\cos(x)+\sin(x)) \ dx}$
[/mm]
Also [mm] $2\int{e^x(\cos(x)+\sin(x)) \ dx}=2e^x\sin(x)$
[/mm]
Und damit [mm] $\int{e^x(\cos(x)+\sin(x)) \ dx}=e^x\sin(x)$
[/mm]
Und hier lassen sich doch rechterhand die Grenzen leicht einsetzen
>
> Das mit dem Umstellen der GLeichung von
> [mm]\int{e^x(\sin(x)+\cos(x)) \ dx}=[/mm] ....
> [mm]-\int{e^x(\sin(x)+\cos(x)) \ dx}[/mm] musst du mir nochmal
> erklären. Das versteh ich noch nicht so ganz!!!
>
> MFG domenigge135
Gruß
schachuzipus
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Okay dann habe ich das soweit jetzt verstanden. Das einzige Problem, was ich nun noch habe ist jenes zu der AUfgabe [mm] \integral^{\pi}_{0}sinxe^xdx [/mm] auch hier wähle ich partielle Integration und die zu integrierende Funktion sei [mm] e^x
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral^{\pi}_{0}sinxe^xdx=|sinxe^x|^{\pi}_{0}-\integral^{\pi}_{0}cosxe^xdx
[/mm]
Das integriere ich nochmal:
[mm] \Rightarrow -\integral^{\pi}_{0}cosxe^xdx=-|cosxe^x|^{\pi}_{0}-\integral^{\pi}_{0}-sinxe^xdx
[/mm]
und wenn ich im letzten Integral ''-'' vor das integral ziehe [mm] \Rightarrow \integral^{\pi}_{0}sinxe^xdx
[/mm]
Wenn ich diese Gleichung aber nun auflöse, dann erhalte ich irgendwie nicht das richtige!!! Wo habe ich also einen Fehler gemacht??? Ich bin der Meinung mein letztes integral muss lauten [mm] -\integral^{\pi}_{0}sinxe^xdx. [/mm] komm aber irgendwie nicht drauf.
Hoffe ihr könnt mir helfen. MFG domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Sa 25.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfach korrekt mit den Vorzeichen umgehen.
> [mm]\integral^{\pi}_{0}sinxe^xdx[/mm] auch hier wähle ich partielle
> Integration und die zu integrierende Funktion sei [mm]e^x[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral^{\pi}_{0}sinxe^xdx=|sinxe^x|^{\pi}_{0}-\integral^{\pi}_{0}cosxe^xdx[/mm]
>
> Das integriere ich nochmal:
>
> [mm]\Rightarrow -\integral^{\pi}_{0}cosxe^xdx=-|cosxe^x|^{\pi}_{0}-\integral^{\pi}_{0}-sinxe^xdx[/mm]
hier dein Fehler: richtig ist:
[mm] -\integral^{\pi}_{0}cosxe^xdx=-(|cosxe^x|^{\pi}_{0}-\integral^{\pi}_{0}-sinxe^xdx)[/mm]
[/mm]
also einfach ne Klammer vergessen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Fry |
Ich bins nochmal,
also wenn du [mm] \integral_{}^{}{e^{x}*sin(x) dx}z.B. [/mm] haben möchtest, bietet es sich an Produktintegration einmal mit [mm] u=e^{x}.,... [/mm] und dann nochmal mit u=sin(x) durchzuführen.
Dann erhälst du:
[mm] \integral_{}^{}{e^x*sin(x) dx}= e^{x}*sin(x)-\integral_{}^{}{e^{x}*cos(x) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{e^x*sin(x) dx}= -e^{x}*cos(x)+\integral_{}^{}{e^{x}*cos(x) dx}
[/mm]
Jetzt kannst du eine der beiden Gleichungen nach [mm] \integral_{}^{}{e^{x}*cos(x) dx} [/mm] umformen und in die andere einsetzen.
Damit bekommst du
[mm] \integral_{}^{}{e^x*sin(x) dx}=\bruch{1}{2}*e^{x}*(sin(x)-cos(x))
[/mm]
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