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Integration: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Di 29.06.2010
Autor: Hoffmann79

Aufgabe
Berechnen Sie: [mm] \integral_{1}^{e} \bruch{dx}{x lnx} [/mm]

Hallo,

hab da ne Frage/Problem mit den Grenzen.

Mein Ansatz bisher:

Lösung über Substitution: t = lnx -> [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] -> dx = x dt

Zusammen:

[mm] \integral_{1}^{e} \bruch{1}{x t}x [/mm] dt -> [mm] \integral_{1}^{e} \bruch{1}{t} [/mm] dt = [mm] [lnt]_{1}^{e} [/mm]

Rücksubstitution:

t = lnx -> lnt = lnlnx => [mm] [lnlnx]_{1}^{e} [/mm] = lnlne - lnln1

lne = 1 -> lnlne = 0, aber ln1 ist nicht definiert ->

Und hier hänge ich jetzt fest. Kann mich dunkel daran erinnern, dass es die Möglichkeit über einen Grenzwert gab. Kann mir da jemand weiterhelfen?

Grüße

        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Di 29.06.2010
Autor: MathePower

Hallo Hoffmann79,

> Berechnen Sie: [mm]\integral_{1}^{e} \bruch{dx}{x lnx}[/mm]
>  Hallo,
>  
> hab da ne Frage/Problem mit den Grenzen.
>  
> Mein Ansatz bisher:
>  
> Lösung über Substitution: t = lnx -> [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] -> dx = x dt
>  
> Zusammen:
>  
> [mm]\integral_{1}^{e} \bruch{1}{x t}x[/mm] dt -> [mm]\integral_{1}^{e} \bruch{1}{t}[/mm]
> dt = [mm][lnt]_{1}^{e}[/mm]
>  
> Rücksubstitution:
>  
> t = lnx -> lnt = lnlnx => [mm][lnlnx]_{1}^{e}[/mm] = lnlne - lnln1
>  
> lne = 1 -> lnlne = 0, aber ln1 ist nicht definiert ->
>
> Und hier hänge ich jetzt fest. Kann mich dunkel daran
> erinnern, dass es die Möglichkeit über einen Grenzwert
> gab. Kann mir da jemand weiterhelfen?


Um den Wert des Integrals auszurechnen, solltest Du so verfahren:

[mm]\integral_{0}^{1}{ \bruch{1}{t} \ dt}=\limes_{\varepsilon \rightarrow 0}\integral_{\varepsilon}^{1}{ \bruch{1}{t} \ dt}[/mm]


>  
> Grüße


Gruss
MathePower

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Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Di 29.06.2010
Autor: Hoffmann79

Hallo MathePower,

ist das Verändern der Grenzen Absicht? Das bedeutet, das Integral läuft jetzt von 0 bis 1?

MfG

Bezug
                        
Bezug
Integration: wegen Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 Di 29.06.2010
Autor: Loddar

Hallo Hoffmann!


Aufgrund der vorherigen Substitution musst Du auch die Integrationsgrenzen entsprechend dieser Substitution verändern.

Oder Du bestimmt zunächst die Stammfunktion als unbestimmtes Integral und verwendest dann die ursprünglichen Integrationsgrenzen.


Gruß
Loddar


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Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Di 29.06.2010
Autor: Hoffmann79

Hallo Loddar,

ist meine Version nicht die, mit der Stammfunktion und den alten Grenzen?

MfG

Bezug
                                        
Bezug
Integration: dann Grenzwertbetrachtung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:45 Di 29.06.2010
Autor: Loddar

Hallo Hoffmann!


Doch schon ... aber Du musst dann auch die entsprechende Grenzwertbetrachtung durchführen.

Diese scheint mir jedoch mit Mathepower's Version etwas einfacher ...


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Di 29.06.2010
Autor: Hoffmann79

Entschuldige bitte, aber ich stehe trotzdem auf dem Schlauch. Nach MathePower's Ansatz:

[mm] \limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}\integral_{\epsilon}^{1}{\bruch{1}{t} dt} [/mm] führt doch wieder auf mein Ausgangsproblem -> [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}[lnt]_{\epsilon}^{1} [/mm] = ln1 -  [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}ln\epsilon [/mm]

Ist der Grenzwert [mm] \limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}ln\epsilon [/mm] = [mm] \infty [/mm] ?




Bezug
                                                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:59 Di 29.06.2010
Autor: fencheltee


> Entschuldige bitte, aber ich stehe trotzdem auf dem
> Schlauch. Nach MathePower's Ansatz:
>  
> [mm]\limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}\integral_{\epsilon}^{1}{\bruch{1}{t} dt}[/mm]
> führt doch wieder auf mein Ausgangsproblem ->
> [mm]\limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}[lnt]_{\epsilon}^{1}[/mm] = ln1 -
>  [mm]\limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}ln\epsilon[/mm]
>  
> Ist der Grenzwert [mm]\limes_{\epsilon\rightarrow\ 0}ln\epsilon[/mm]
> = [mm]\infty[/mm] ?
>  

naja, man sagt eher, der grenzwert ist nicht existent, er strebt aber gegen [mm] -\infty, [/mm] nicht [mm] \infty [/mm]

>
>  

gruß tee

Bezug
                                                                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Di 29.06.2010
Autor: Hoffmann79

Hallo fencheltee,

du hast natürlich recht, das sieht man auch sehr gut am Graphen der Logarithmusfunktion.

Dann ist die Lösung der Aufgabe letztendlich [mm] \integral_{1}^{e}{\bruch{dx}{x lnx}} [/mm] = ... = [mm] \infty [/mm] ?

Gruß

Bezug
                                                                        
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Integration: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Di 29.06.2010
Autor: Loddar

Hallo Hoffmann!


[daumenhoch] !!


Gruß
Loddar


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Bezug
Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:15 Di 29.06.2010
Autor: Hoffmann79

Vielen Dank euch allen !!! ;-)

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