Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Fr 01.10.2010 | | Autor: | Pruckcy |
Hallo ihr Lieben!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich wollte wissen, wie ich diese Funtion über die Grenzen 0 bis 1 integrieren kann:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^2+x+1} dx}
[/mm]
ich habe mir überlegt das mit Partialbruchzerlegung zu machen.
Als Nullstellen des Nenner habe ich [mm] x_{1}=-\bruch{1}{2}-i\bruch{\wurzel{3}}{2}
[/mm]
so und nun wollte ich darauf den Koeffizientenvergleich anwenden.
Jedochbekomme ich bei dem Ansatz:
[mm] \bruch{1}{x^2+x+1}=\bruch{b+cx}{x^2+x+1} [/mm] ja für c=0 raus und für b=1.... Damit habe ich dann ja wieder das gleiche wie zuvor und ich komme nicht weiter.
Was mache ich falsch?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Fr 01.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Pruckcy!
Versuche Deine Funktion auf die Form
[mm]\bruch{1}{\left(\bruch{x+A}{B}\right)^2+1}[/mm]
zu bringen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Fr 01.10.2010 | | Autor: | Pruckcy |
Entschuldige aber irgendwie verstehe ich nicht was du meinst oder besser ich weiss nicht wie das geht :(
Sind A und B die Koeffizienten die ich noch bestimmen muss
ich bin echt kein Mathe genie....
|
|
|
| |
|
Hallo^^,
> Entschuldige aber irgendwie verstehe ich nicht was du
> meinst oder besser ich weiss nicht wie das geht :(
> Sind A und B die Koeffizienten die ich noch bestimmen
> muss
joa... versuche den nenner mal zu vereinfachen oder umzuformen...
wie könnte man es denn umformen?? Mach mal einen vorschlag^^
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:26 Fr 01.10.2010 | | Autor: | Pruckcy |
wie wäre es wenn ich den nenner quadratisch ergänze?
aber was mir das bringen soll weiss ich nicht... vorallem weil ich das irgendwie nicht hinbekomme....doof alles! Ich verstehe es wirklich nicht. Wenn würde ich es ja versuchen.
ich verstehe garnicht woher diese Form überhaupt kommt, vielleicht könnte mir das jemand erklären? Ich will ja schließlich auch versuchen was zu verstehen.
Dankeschön
|
|
|
| |
|
Hi, guck mal abakus antwort an, das sollte dir helfen^^
LG
pythagora
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:52 Fr 01.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo ihr Lieben!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich wollte wissen, wie ich diese Funtion über die Grenzen
> 0 bis 1 integrieren kann:
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^2+x+1} dx}[/mm]
Hallo,
es ist
[mm] x^2+x+1=(x+0,5)^2+0,75 [/mm] (Stichwort: quadratisch ergänzen).
Somit hast du
[mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(x+0,5)^2+0,75} dx}[/mm]
durch Erweitern mit 4/3 wird daraus
[mm] \bruch{4}{3}[/mm] [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{\bruch{4}{3}(x+0,5)^2+1} dx}[/mm]
Wenn wir die [mm] \bruch{4}{3} [/mm] noch mit in das Quadrat reinquetschen, wird daraus
[mm] \bruch{4}{3}[/mm] [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(\bruch{2(x+0,5)}{\wurzel{3}})^2+1} dx}[/mm]
Wozu das Ganze?
Die Funktion [mm] f(z)=\bruch{1}{z^2+1} [/mm] hat eine ganz bekannte Stammfunktion. Deshalb machen wir die ganzen Klimmzüge, um die gegebene Funktiuon in diese Form umzuschreiben.
Dazu müssen wir die Substitution
[mm] z=(\bruch{2(x+0,5)}{\wurzel{3}}) [/mm] durchführen.
Gruß Abakus
>
> ich habe mir überlegt das mit Partialbruchzerlegung zu
> machen.
>
> Als Nullstellen des Nenner habe ich
> [mm]x_{1}=-\bruch{1}{2}-i\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm]
> so und nun wollte ich darauf den Koeffizientenvergleich
> anwenden.
> Jedochbekomme ich bei dem Ansatz:
> [mm]\bruch{1}{x^2+x+1}=\bruch{b+cx}{x^2+x+1}[/mm] ja für c=0 raus
> und für b=1.... Damit habe ich dann ja wieder das gleiche
> wie zuvor und ich komme nicht weiter.
> Was mache ich falsch?
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:39 Sa 02.10.2010 | | Autor: | Pruckcy |
Guten Morgen!
Vielen lieben dank!
Jetzt habe ich es endlich verstanden: die Lösung ist also:
[mm] \bruch{4}{3}\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(\bruch{2(x+0,5)}{\wurzel{3}})^2+1} dx}
[/mm]
jetzt Substituieren wir: [mm] z=(\bruch{2(x+0,5)}{\wurzel{3}})
[/mm]
[mm] \bruch{4}{3}\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(z)^2+1} dx}
[/mm]
die Stammfunktion ist der arcus tangens wenn ich mich richtig erinnere:
damit hätten wir dann:
[mm] \bruch{4}{3}*[arctan(z)] [/mm] über die Grenzen von [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}} [/mm] bis [mm] \bruch{3}{\wurzel{3}}
[/mm]
und das ist das gleiche wie [mm] \bruch{4}{3}*[arctan(\bruch{2(x+0,5)}{\wurzel{3}}) [/mm] über die Grenzen 0 bis 1
da die Frage in einer Mündlcihen Prüfung gestellt wurde, denke ich nicht das man das bis zu ende ausrechnen muss. Vielen Dank für die Idee werde in Zukunft besser auf solche Formen achten!
Schönes Wochenende
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Sa 02.10.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Pruckcy,
das Prinzip hast Du verstanden, aber bei den Grenzen geschlampt.
Wenn, dann musst Du auch die Grenzen als Funktion von z schreiben und auch den Differentialquotienten anpassen. Die Grenzenanpassung steht weiter unten in Deinem Text, sie gehört aber auch schon an das aufgeschriebene Integral. Das ist bei Deiner Substitution nicht so wild, da
[mm] \bruch{dz}{dx} = \bruch{2}{\wurzel{3}} [/mm] ist.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
