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Forum "Integration" - Integration
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Integration: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:01 Do 20.01.2011
Autor: Random

Aufgabe
Bestimmen Sie die folgenden Integralle:

[mm] d)\integral{\bruch{ln(sinx)}{sin^2x}} [/mm]

Hallo nochmal xD

Sitz wieder an der nächsten Aufgabe und komme nicht weiter.

Kann ich vielleicht [mm] \bruch{1}{sin^2x} [/mm] irgendwie anderes ausdrücken?

hab mir überlegt, dass (kurzfassung):

1/sin^2x = [mm] 1+cot^2(x) [/mm] = 1+cot(x)*cot(x) = 1+1/tanx*1/tan(x) = 1+1/sin(x)/cos(x)*1/sin(x)/cos(x) = [mm] \bruch{cos^2x}{sin^2x} [/mm]

Wie ich das integrieren soll weiss ich leider auch nicht und inwiefern es mich weiterbringt auch nicht xD

ich gehe fest davon aus, dass mein u=ln(sinx) sein muss, da ln einfach einfacher abzuleiten ist.

Danke im Voraus,

Ilya

        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:17 Do 20.01.2011
Autor: MathePower

Hallo Random,

> Bestimmen Sie die folgenden Integralle:
>  
> [mm]d)\integral{\bruch{ln(sinx)}{sin^2x}}[/mm]
>  Hallo nochmal xD
>  
> Sitz wieder an der nächsten Aufgabe und komme nicht
> weiter.
>
> Kann ich vielleicht [mm]\bruch{1}{sin^2x}[/mm] irgendwie anderes
> ausdrücken?


Lass das mal so stehen.


>  
> hab mir überlegt, dass (kurzfassung):
>  
> 1/sin^2x = [mm]1+cot^2(x)[/mm] = 1+cot(x)*cot(x) = 1+1/tanx*1/tan(x)
> = 1+1/sin(x)/cos(x)*1/sin(x)/cos(x) =
> [mm]\bruch{cos^2x}{sin^2x}[/mm]
>  
> Wie ich das integrieren soll weiss ich leider auch nicht
> und inwiefern es mich weiterbringt auch nicht xD
>  
> ich gehe fest davon aus, dass mein u=ln(sinx) sein muss, da
> ln einfach einfacher abzuleiten ist.


Ja, und das Integral von [mm]\bruch{1}{\sin^{2}\left(x\right)}[/mm] ist auch einfach bestimmbar.

Es gilt nämlich:

[mm]\bruch{1}{\sin^{2}\left(x\right)}=\bruch{\sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)}{\sin^{2}\left(x\right)}=1+\cot^{2}\left(x\right)[/mm]

Und eine Stammfunktion davon ist Dir sicherlich bekannt.


> Danke im Voraus,
>
> Ilya


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Do 20.01.2011
Autor: Random

Also es ist mir irgendwie nicht ganz klar.

Ist die Stammfunktion von 1+cot^2x: -cot(x)

Oder ist es: cot(x)

Weil bei Wiki steht dass: -1/sin^2x die Stammfunktion cot(x) hat.



Bezug
                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:51 Do 20.01.2011
Autor: MathePower

Hallo Random,

> Also es ist mir irgendwie nicht ganz klar.
>
> Ist die Stammfunktion von 1+cot^2x: -cot(x)


Ja.


>  
> Oder ist es: cot(x)
>
> Weil bei Wiki steht dass: -1/sin^2x die Stammfunktion
> cot(x) hat.
>


Gruss
MathePower

Bezug
                                
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Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Do 20.01.2011
Autor: Random

Danke sher!

Hab nun ein "problemchen".

und zwar kommt am Ende raus:

[mm] \integral{\bruch{ln(sinx)}{sin^2x}dx}= [/mm] ....... [mm] \integral{\bruch{ln(sinx)}{sin^2x}dx} [/mm]

wenn ich das jetzt nach int auflöse kommt 0=.... Und das geht nicht. Bräuchte
ein "-" vor [mm] \integral{\bruch{ln(sinx)}{sin^2x}dx} [/mm] damit [mm] 2\integral{\bruch{ln(sinx)}{sin^2x}dx} [/mm] und ich einfach dur 2 teilen kann xD

Was mache ich falsch.

Bezug
                                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:50 Do 20.01.2011
Autor: MathePower

Hallo Random,

> Danke sher!
>
> Hab nun ein "problemchen".
>  
> und zwar kommt am Ende raus:
>
> [mm]\integral{\bruch{ln(sinx)}{sin^2x}dx}=[/mm] .......
> [mm]\integral{\bruch{ln(sinx)}{sin^2x}dx}[/mm]
>  
> wenn ich das jetzt nach int auflöse kommt 0=.... Und das
> geht nicht. Bräuchte
>  ein "-" vor [mm]\integral{\bruch{ln(sinx)}{sin^2x}dx}[/mm] damit
> [mm]2\integral{\bruch{ln(sinx)}{sin^2x}dx}[/mm] und ich einfach dur
> 2 teilen kann xD
>  
> Was mache ich falsch.  


Wenn Du partielle Integration,wie vorgeschlagen, verwendest,
dann muss hier stehen:


[mm]\integral{\bruch{ln(sinx)}{sin^2x}dx}= ....... \integral_{}^{}{\red{ \left(-\cot\left(x\right) \ \right)*\left( \ \ln\left( \ \sin\left(x\right) \ \right) \ \right)' } \ dx}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Do 20.01.2011
Autor: Random

Genau das kommt bei mir raus MathePower und wie verfahre ich jetzt weiter.

Dann hab ich weitergemacht und kam irgendwann auf die Lösung:

[mm] \integral{\bruch{ln(sinx)}{sin^2x}dx}=-ln(sin(x))*cot(x)+cot(x)*ln(sin(x))+\integral{\bruch{ln(sinx)}{sin^2x}dx} [/mm]

Wie verfahre ich weiter?

Bezug
                                                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Do 20.01.2011
Autor: MathePower

Hallo Random,

> Genau das kommt bei mir raus MathePower und wie verfahre
> ich jetzt weiter.
>
> Dann hab ich weitergemacht und kam irgendwann auf die
> Lösung:
>  
> [mm]\integral{\bruch{ln(sinx)}{sin^2x}dx}=-ln(sin(x))*cot(x)+cot(x)*ln(sin(x))+\integral{\bruch{ln(sinx)}{sin^2x}dx}[/mm]


Für das Integral

[mm]\integral_{}^{}{ \left(-\cot\left(x\right) \ \right)\cdot{}\left( \ \ln\left( \ \sin\left(x\right) \ \right) \ \right)' \ dx}[/mm]

benötigst Du keine weitere partielle Integratiom mehr.


> Wie verfahre ich weiter?  


Mit der Berechnung des Integrals

[mm]\integral_{}^{}{ \left(-\cot\left(x\right) \ \right)\cdot{}\left( \ \ln\left( \ \sin\left(x\right) \ \right) \ \right)' \ dx} [/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Integration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:45 Fr 21.01.2011
Autor: Random

[mm] \integral_{}^{}{ \left(-\cot\left(x\right) \ \right)\cdot{}\left( \ \ln\left( \ \sin\left(x\right) \ \right) \ \right)' \ dx} [/mm]

Wie kann ich das integral direkt berechnen? Es ist doch wieder ein produkt...

Freue mich über einen Tipp =)

MfG

Ilya

Bezug
                                                                        
Bezug
Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 Fr 21.01.2011
Autor: weightgainer


> [mm]\integral_{}^{}{ \left(-\cot\left(x\right) \ \right)\cdot{}\left( \ \ln\left( \ \sin\left(x\right) \ \right) \ \right)' \ dx}[/mm]
>
> Wie kann ich das integral direkt berechnen? Es ist doch
> wieder ein produkt...

Aber da steht doch immer noch ein ganz verschämter Strich, d.h. du solltest vielleicht erstmal den Integranden weiter bearbeiten (Ableitung berechnen, vereinfachen). Und dann siehst du es bestimmt wieder.

>
> Freue mich über einen Tipp =)
>
> MfG
>
> Ilya

lg weightgainer

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