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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Di 01.02.2011 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgenden Integrale konvergieren und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Wert:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^-^xsin(x)dx} [/mm] |
Und schon weider müssen wir unglaublich viele Integrale bestimmen...
Aber jetzt kommt noch die Konvergenz dazu.
Mittels partieller Integration könnte ich wahrscheinlich das Integral umbringen, aber bezüglich der Konvergenz habe ich keine Ahnung.
Ich nehme an es wird wohl kein "Muster" und keine "eindeutige" Methode dafür geben die Konvergenz bei Integranden zu berechnen sowie bei Reihen...
Ich bitte dennoch um einen Tipp für diese Aufgabe denn ich habe echt keinen Plan...
Also wenn ich den Integranden gegen unendlich laufen lasse, weiss ich, dass das Integral gegen 0 geht, da e^-^x gegen 0 läuft.
Das sagt bestimmt was aus xD
Vielen Dank im Voraus und mit freundlichen Grüßen,
Ilya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Di 01.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Random!
Um den Wert des Integrals zu bestimmen, ist der Ansatz mit der partiellen Integration genau richtig.
Zum abschätzen, ob dieses Integral überhaupt konvergiert, kannst Du hier folgende Abschätzung verwenden:
$-1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \sin(x) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ +1$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Mi 02.02.2011 | | Autor: | Random |
Hallo Loddar!
Danke für deinen Tipp, aber ich kann irgendwie nichts damit anfangen xD.
Also der Ansatz mit der partiellen Integration ist richtig... Heisst das ich soll erst partiell integrieren und dann nach der konvergenz schauen mit der Abschätzung die du mir Vorschlägst oder soll ich erst nach der Konvergenz schauen?
dann weiss ich allredings nicht wie ich mit der Abschätzung vorgehen kann.
MfG
Ilya
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Hallo Ilya,
> Hallo Loddar!
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> Danke für deinen Tipp, aber ich kann irgendwie nichts
> damit anfangen xD.
>
> Also der Ansatz mit der partiellen Integration ist
> richtig... Heisst das ich soll erst partiell integrieren
> und dann nach der konvergenz schauen mit der Abschätzung
> die du mir Vorschlägst oder soll ich erst nach der
> Konvergenz schauen?
Naja, wenn du den Wert des Integral konkret berechnest, so zeigst du ja auch damit, dass es konvergiert ...
>
> dann weiss ich allredings nicht wie ich mit der
> Abschätzung vorgehen kann.
Ach, natürlich kannst du das.
Zeige, dass das Integral absolut konvergiert, dass also [mm]\int\limits_{0}^{\infty}\left|e^{-x}\cdot{}\sin(x)\right| \ dx} \ < \ \infty[/mm] ist, also konvergiert.
Dann konvergiert auch das Ausgangsintegral.
Und mit [mm]|\sin(x)|\le 1[/mm] kommst du doch auf eine Majorante, von der du schnell zeigen kannst, dass sie konvergiert.
Den genauen Wert des Integrals berechne mit zweifacher partieller Integration, beachte [mm]\int\limits_{0}^{\infty}{e^{-x}\cdot{}\sin(x) \ dx} \ = \ \lim\limits_{M\to\infty}\int\limits_{0}^{M}{e^{-x}\cdot{}\sin(x) \ dx}[/mm]
>
> MfG
>
> Ilya
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Do 03.02.2011 | | Autor: | Random |
Okay also was ich machen muss um das zu zeigen ist einfach zu integriereen und das M gegen unendlich laufen zu lassen...
Das habe ich dann auch gemacht...
Partielle Integration liefert: [mm] \bruch{-e^{-x}sin(x)-e^{-x}cos(x)}{2}
[/mm]
So jetzt lasse ich das gegen unendlich laufen:
[mm] \limes_{M\rightarrow\infty}\bruch{-e^{-M}sin(M)-e^{-M}cos(M)}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{e^M} [/mm] geht ja gegen 0 und wird mit sin multipliziert also 0
Das selbe mit cos auch 0
Und 0 geteilt durch 2 gibt 0 also ist mein Grenzwert 0 und somit exestiert das Integral da ein Grenzwert exestiert...
Ich glaube, dass das falsch ist wäre aber nicht schlecht wenn nicht xD
MfG
Ilya
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Hallo nochmal,
> Okay also was ich machen muss um das zu zeigen ist einfach
> zu integriereen und das M gegen unendlich laufen zu
> lassen...
>
> Das habe ich dann auch gemacht...
>
> Partielle Integration liefert:
> [mm]\bruch{-e^{-x}sin(x)-e^{-x}cos(x)}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]=-\frac{e^{-x}}{2}\cdot{}\left(\sin(x)+\cos(x)\right)[/mm]
>
> So jetzt lasse ich das gegen unendlich laufen:
Du musst erst die Grenzen einsetzen!
Untere 0, obere M, danach [mm]M\to\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{M\rightarrow\infty}\bruch{-e^{-M}sin(M)-e^{-M}cos(M)}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{e^M}[/mm] geht ja gegen 0 und wird mit sin
> multipliziert also 0
>
> Das selbe mit cos auch 0
>
> Und 0 geteilt durch 2 gibt 0 also ist mein Grenzwert 0 und
> somit exeistiert das Integral da ein Grenzwert exeistiert...
>
> Ich glaube, dass das falsch ist wäre aber nicht schlecht
> wenn nicht xD
Das ist schon ganz gut, du hast nur die untere Grenze nicht mit einbezogen.
Also erst die Grenzen einsetzen, dann den Grenzprozess machen.
>
> MfG
>
> Ilya
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Do 03.02.2011 | | Autor: | Random |
Aso also wenn ich die Unteregrenze einsetze komme ich auf [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Soll ich jetzt einfach wie bei integrieren das Ergebnis der oberen Grenze - das Ergebnis der Unteren Grenze rechnen... also wie bei Flächenbestimmung und komme auf [mm] 0-(-\bruch{1}{2})=\bruch{1}{2}
[/mm]
Und das ist dann mein Grenzwert?
MfG
Ilya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Do 03.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Deine Stammfunktion ist doch:
[mm] $F(x)=\bruch{-e^{-x}sin(x)-e^{-x}cos(x)}{2} [/mm] $
Berechne F(M)-F(0) und lasse dann M gegen [mm] \infty [/mm] gehen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Do 03.02.2011 | | Autor: | Random |
Das hab ich ja gemeint! xD
Danke sehr = )
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