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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Di 21.02.2012 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen...
ich wollte mal fragen, ob mir irgendjmd. einen Tipp zu folgender Fragestellung geben könnte?
Es geht um folgendes:
z.B. habe ich folgende Integrale:
[mm] \integral_0^\pi sin^2(x)cos(x) [/mm] dx
[mm] \integral_0^\pi cos^2(x)sin(x) [/mm] dx
[mm] \integral_0^{2\pi} sin^2(x)cos(x) [/mm] dx
[mm] \integral_0^{2\pi} cos^2(x)sin(x) [/mm] dx
Nun zu meiner Frage...
ein Kommolitone sagte mir, dass man eine Menge Zeit sparen könnte, indem man mit
gerade und ungerade diskutiert, und je nachdem diese Integrale zu Null setzen kann...
ich habe nun im Internet nach einer Art Tabelle gesucht, aber leider nichts gefunden, weshalb ich mich nun an euch wenden wollte.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
mfg thadod
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> [mm]\integral_0^\pi sin^2(x)cos(x)[/mm] dx
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> [mm]\integral_0^\pi cos^2(x)sin(x)[/mm] dx
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> [mm]\integral_0^{2\pi} sin^2(x)cos(x)[/mm] dx
>
> [mm]\integral_0^{2\pi} cos^2(x)sin(x)[/mm] dx
>
> Nun zu meiner Frage...
>
> ein Kommolitone sagte mir, dass man eine Menge Zeit sparen
> könnte, indem man mit
>
> gerade und ungerade diskutiert, und je nachdem diese
> Integrale zu Null setzen kann...
Hallo thadod,
man kann alle diese Integrale auch recht leicht mittels
Substitutionen lösen, aber der Vorschlag des Kommilitonen
ist ganz gut. Ich würde mir einfach mal in einer Skizze
die jeweils beteiligten Funktionen aufzeichnen, für das
erste Integral also über dem Intervall [mm] [0;\pi] [/mm] die Funk-
tionen sin(x) , [mm] sin^2(x) [/mm] , cos(x) sowie das Produkt
[mm] f(x)=sin^2(x)*cos(x) [/mm] . Nun kann man sehen, dass
die Graphen von sin(x) als auch [mm] sin^2(x) [/mm] axialsymmetrisch
bezüglich der Geraden [mm] x=\frac{\pi}{2} [/mm] sind und jene
von cos(x) und f(x) zentralsymmetrisch in Bezug auf den
Punkt [mm] Z(\frac{\pi}{2},0) [/mm] . Daraus kann man schließen,
dass das Integral den Wert Null haben muss (Flächen
heben sich gegenseitig auf).
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Di 21.02.2012 | | Autor: | donquijote |
> > [mm]\integral_0^\pi sin^2(x)cos(x)[/mm] dx
> >
> > [mm]\integral_0^\pi cos^2(x)sin(x)[/mm] dx
> >
> > [mm]\integral_0^{2\pi} sin^2(x)cos(x)[/mm] dx
> >
> > [mm]\integral_0^{2\pi} cos^2(x)sin(x)[/mm] dx
> >
> > Nun zu meiner Frage...
> >
> > ein Kommolitone sagte mir, dass man eine Menge Zeit sparen
> > könnte, indem man mit
> >
> > gerade und ungerade diskutiert, und je nachdem diese
> > Integrale zu Null setzen kann...
>
>
> Hallo thadod,
>
> man kann alle diese Integrale auch recht leicht mittels
> Substitutionen lösen, aber der Vorschlag des
> Kommilitonen
> ist ganz gut. Ich würde mir einfach mal in einer Skizze
> die jeweils beteiligten Funktionen aufzeichnen, für das
> erste Integral also über dem Intervall [mm][0;\pi][/mm] die Funk-
> tionen sin(x) , [mm]sin^2(x)[/mm] , cos(x) sowie das Produkt
> [mm]f(x)=sin^2(x)*cos(x)[/mm] . Nun kann man sehen, dass
> die Graphen von sin(x) als auch [mm]sin^2(x)[/mm] axialsymmetrisch
> bezüglich der Geraden [mm]x=\frac{\pi}{2}[/mm] sind und jene
> von cos(x) und f(x) zentralsymmetrisch in Bezug auf den
> Punkt [mm]Z(\frac{\pi}{2},0)[/mm] . Daraus kann man schließen,
> dass das Integral den Wert Null haben muss (Flächen
> heben sich gegenseitig auf).
das trifft aber nur auf 3 der 4 Integrale zu, beim zweiten ist der Integrand [mm] \ge [/mm] 0 und daher hebt sich nichts auf.
Deshalb muss man doch die Stammfunktion bestimmen, was wie Al-C schon bemerkt hat, nicht besonders schwer ist.
Daher glaube ich nicht, dass die Betrachtung von Symmetrieeigenschften unter dem Strich wirklich Arbeit spart.
>
> LG Al-Chw.
>
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> das trifft aber nur auf 3 der 4 Integrale zu .....
naja, immerhin !
Nach meiner Erfahrung ist es doch sehr oft hilfreich,
offensichtliche Symmetrien zu beachten und allenfalls
zu nutzen, auch wenn es nur um eine Kontrolle gehen
sollte.
So kann man z.B. in einer Skizze der Funktion [mm] f(x)=cos^2(x)
[/mm]
über dem Intervall [mm] [0;\pi] [/mm] sehen, dass das entsprechende
Integral einer Fläche entspricht, welche das Rechteck
[mm] 0\le{x}\le\pi [/mm] , [mm] 0\le{y}\le1 [/mm] exakt zur Hälfte ausfüllt - also muss gelten:
[mm] $\integral_{0}^{\pi}cos^2(x)\,dx\ [/mm] =\ [mm] \frac{\pi}{2}$
[/mm]
LG Al
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