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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 So 03.06.2012 | | Autor: | DM08 |
Hi,
ich habe eine Verständnisfrage. Angenommen ich habe eine Funktion, mit hohem Exponenten, z.B. [mm] f(x)=e^{-\alpha x}x^{168} [/mm] und ich will diese Funktion integrieren. Das Problem bei der partiellen Integration besteht darin, dass ich immer wieder partiell integrieren müsse um das x zu entfernen und auch dann würde es wenn ich mich nicht irre nicht viel bringen. Daher die Frage, wie integriert man sowas ? Irgendein Trick muss es doch dabei geben. Eine gute Substitution fällt mir da auch nicht ein. Danke schonmal!
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Schön wär's.
Aber man wird um die gigantische Rechnung nicht herumkommen....
Just my two cents.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 So 03.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hi,
>
> ich habe eine Verständnisfrage. Angenommen ich habe eine
> Funktion, mit hohem Exponenten, z.B. [mm]f(x)=e^{-\alpha x}x^{168}[/mm]
> und ich will diese Funktion integrieren. Das Problem bei
> der partiellen Integration besteht darin, dass ich immer
> wieder partiell integrieren müsse um das x zu entfernen
> und auch dann würde es wenn ich mich nicht irre nicht viel
> bringen. Daher die Frage, wie integriert man sowas ?
doch das würde was bringen, nach 168 Schritten wäre das x beim letzten Integral verschwunden und Du müsstest nur noch die Exponentialfunktion integrieren.
> Irgendein Trick muss es doch dabei geben. Eine gute
> Substitution fällt mir da auch nicht ein. Danke schonmal!
Natürlich wird kein Mensch sowas von Hand ausrechnen, sondern einen Rechner die Arbeit übernehmen lassen.
Es gibt allerdings tatsächlich einen Trick um das Integrieren zu vereinfachen.
Betrachte das Integral:
[mm] $\int te^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t$
[/mm]
Das lässt sich auch so schreiben:
[mm] $\int te^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t=-\int \frac{\partial}{\partial\alpha} e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t$
[/mm]
Da nach t integriert wird, kann man Integral und Ableitung vertauschen:
[mm] $\int te^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t=-\frac{\partial}{\partial\alpha}\int e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t$
[/mm]
Jetzt ist das Integral wesentlich einfacht zu lösen.
Dieses Verfahren kann man leicht auf den allgemeineren Fall:
$ [mm] \int t^ne^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t [/mm] $
übertragen. Das Integrieren ist dann nicht schwer, allerdings musst Du dann die n-te Ableitung der Funktion:
[mm] $f(t)=\frac{1}{\alpha}-\frac{e^{-\alpha t}}{\alpha}$
[/mm]
bilden.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 So 03.06.2012 | | Autor: | DM08 |
Schonmal danke für deine Antwort !
Betrachten wir es also Allgemein, dann gilt für alle Ableitungen [mm] \ge [/mm] 2:
[mm] f(t)=\frac{1}{\alpha}-\frac{e^{-\alpha t}}{\alpha}
[/mm]
gerade n : [mm] f^n(t)=-\alpha^{n-1}e^{-\alpha t}
[/mm]
ungerade n : [mm] f^n(t)=\alpha^{n-1}e^{-\alpha t}
[/mm]
Ich weiß nun nicht genau wie du das meinst mit der Übertragung von dem obrigem Teil, ich probiere es mal aus für gerade n [mm] \ge [/mm] 2:
[mm] \int t^ne^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t= -\int \frac{\partial}{\partial\alpha}t^{n-1}e^{-\alpha t}\mathrm{d}t=-\frac{\partial}{\partial\alpha}\int t^{n-1}e^{-\alpha t}\mathrm{d}t
[/mm]
Hier komme ich nun nicht wirklich weiter ..
Eventuell habe ich etwas übersehen ..
Ich verstehe auch nicht ganz wie du auf f(t) gekommen bist, daran sollte es liegen..
edit : Ich habe doch einen Weg gefunden weiterzurechnen, aber das kommt mir falsch vor, aber ich rechne mal vor..
[mm] \int t^ne^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t= -\int \frac{\partial}{\partial\alpha}t^{n-1}e^{-\alpha t}\mathrm{d}t=-\frac{\partial}{\partial\alpha}\int t^{n-1}e^{-\alpha t}\mathrm{d}t=-\frac{\partial}{\partial\alpha}(\bruch{t^n}{n}e^{-\alpha t}-\int \bruch{t^n}{n}e^{-\alpha t}(-\alpha) \mathrm{d}t)=-\frac{\partial}{\partial\alpha}\bruch{1}{n}(t^ne^{-\alpha t}+\alpha\int t^ne^{-\alpha t} \mathrm{d}t)
[/mm]
Wenn ich nun ausmultipliziere und den linken Term nach [mm] \alpha [/mm] ableite erhalte ich [mm] -\bruch{t^{n+1}e^{-\alpha t}}{n} [/mm] + [mm] \frac{\partial}{\partial\alpha}\bruch{\alpha}{n}\int t^ne^{-\alpha t} \mathrm{d}t [/mm]
Und nun den rechten Teil nach [mm] \alpha [/mm] ableiten ergibt :
[mm] \bruch{1}{n}\int t^ne^{-\alpha t} \mathrm{d}t [/mm] + [mm] \bruch{\alpha}{n}t^ne^{-\alpha t} [/mm]
und damit :
[mm] \int t^ne^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t=-\bruch{t^{n+1}e^{-\alpha t}}{n}+\bruch{1}{n}\int t^ne^{-\alpha t} \mathrm{d}t [/mm] + [mm] \bruch{\alpha}{n}t^ne^{-\alpha t} [/mm]
und damit :
[mm] \int t^ne^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t=\bruch{t^ne^{-\alpha t}(t+\alpha)}{n-1}+C
[/mm]
Aber das kann so nicht stimmen :(
Danke Dir und Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:38 So 03.06.2012 | | Autor: | notinX |
> Schonmal danke für deine Antwort !
>
> Betrachten wir es also Allgemein, dann gilt für alle
> Ableitungen [mm]\ge[/mm] 2:
>
> [mm]f(t)=\frac{1}{\alpha}-\frac{e^{-\alpha t}}{\alpha}[/mm]
>
> gerade n : [mm]f^n(t)=-\alpha^{n-1}e^{-\alpha t}[/mm]
> ungerade n :
> [mm]f^n(t)=\alpha^{n-1}e^{-\alpha t}[/mm]
das lässt sich noch zusammenfassen zu:
[mm] $f^{(n)}(t)=(-1)^{n+1}\alpha^{n-1}e^{-\alpha t} [/mm] $
Aber das beschreibt die Ableitungen nach t. Berechnet werden müssen aber die Ableitungen nach [mm] $\alpha$
[/mm]
>
> Ich weiß nun nicht genau wie du das meinst mit der
> Übertragung von dem obrigem Teil, ich probiere es mal aus
> für gerade n [mm]\ge[/mm] 2:
>
> [mm]\int t^ne^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t= -\int \frac{\partial}{\partial\alpha}t^{n-1}e^{-\alpha t}\mathrm{d}t=-\frac{\partial}{\partial\alpha}\int t^{n-1}e^{-\alpha t}\mathrm{d}t[/mm]
Das sieht zwar richtig aus, hilft aber nicht beim Integrieren.
>
> Hier komme ich nun nicht wirklich weiter ..
Schau mal:
$ [mm] \int t^ne^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t=(-1)^n\frac{\partial^n}{\partial\alpha^n}\int e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t [/mm] $
>
> Eventuell habe ich etwas übersehen ..
> Ich verstehe auch nicht ganz wie du auf f(t) gekommen
> bist, daran sollte es liegen..
[mm] $f(\alpha,t)=\int e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t$
[/mm]
Damit gilt dann:
$ [mm] \int t^ne^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t=(-1)^n\frac{\partial^n}{\partial\alpha^n}f(\alpha,t)$
[/mm]
>
> Danke Dir und Gruß
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 So 03.06.2012 | | Autor: | DM08 |
Hi,
Danke, daran hatte ich garnicht gedacht, aber ich sollte ehe nach [mm] \alpha [/mm] ableiten. Weiß noch immer nicht genau wie du darauf gekommen bist, aber vllt. wird mir das nun noch ersichtlich.
[mm] f(t)=\frac{1}{\alpha}-\frac{e^{-\alpha t}}{\alpha}
[/mm]
Wenn ich das nach [mm] \alpha [/mm] ableite bekomme ich kein bestimmtes "Muster" :S
$ [mm] \int t^ne^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t=(-1)^n\frac{\partial^n}{\partial\alpha^n}\int e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t [/mm] $
Kannst du mir das bitte nochmal erklären ? Wieso fällt das t komplett weg ? Es ist doch im Integral..
Gruß und danke nochmals
edit : Übrigens habe ich meine letzte Frage nochmal überarbeitet, aber ich glaube, dass das zu nichts führt..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 So 03.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hi,
>
> Danke, daran hatte ich garnicht gedacht, aber ich sollte
> ehe nach [mm]\alpha[/mm] ableiten. Weiß noch immer nicht genau wie
> du darauf gekommen bist, aber vllt. wird mir das nun noch
> ersichtlich.
ich bin darauf gar nicht gekommen, das ist eben so ein Trick um Integral solcher Art zu lösen.
Man überführt das Integralproblem in ein Ableitungsproblem, das ist immer einfacher zu handhaben.
>
> [mm]f(t)=\frac{1}{\alpha}-\frac{e^{-\alpha t}}{\alpha}[/mm]
>
> Wenn ich das nach [mm]\alpha[/mm] ableite bekomme ich kein
> bestimmtes "Muster" :S
[mm] $f(t)=-\frac{e^{-\alpha t}}{\alpha}$
[/mm]
reicht auch, der erste Summand ist ja bezüglich t konstant.
>
> [mm]\int t^ne^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t=(-1)^n\frac{\partial^n}{\partial\alpha^n}\int e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t[/mm]
>
> Kannst du mir das bitte nochmal erklären ? Wieso fällt
> das t komplett weg ? Es ist doch im Integral..
Weil gilt:
$ [mm] t^ne^{-\alpha t}=(-1)^n\frac{\partial^n}{\partial\alpha^n}e^{-\alpha t}$ [/mm]
Überzeuge Dich davon durch Nachrechnen.
Wenn Du das dann ins Integral einsetzt und die Ableitung vor das Integral schreibst kommst Du auf die gewünschte Gleichung.
>
> Gruß und danke nochmals
>
> edit : Übrigens habe ich meine letzte Frage nochmal
> überarbeitet, aber ich glaube, dass das zu nichts führt..
Ich schätze auch, dass Dir das nicht helfen wird.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:55 So 03.06.2012 | | Autor: | DM08 |
Hi, ich weiß noch nicht genau wie man auf diese [mm] $(-1)^n$ [/mm] kommt, aber es ist richtig und das freut mich, vielleicht werde ich das morgen besser verstehen. Dennoch gilt :
[mm] \int t^ne^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t=(-1)^n\frac{\partial^n}{\partial\alpha^n}\int e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t=(-1)^n\frac{\partial^n}{\partial\alpha^n}(-\bruch{e^{-\alpha t}}{\alpha}+C)=(-1)^{n+1}\frac{\partial^n}{\partial\alpha^n}\bruch{e^{-\alpha t}}{\alpha}.
[/mm]
Setzte [mm] $\phi(a):=\bruch{e^{-\alpha t}}{\alpha} [/mm] +C$. Wenn ich die Ableitungen davon bilde nach [mm] \alpha [/mm] erhalte schon ein "System", aber nicht wirklich eine Gleichung. Vielleicht liege auch irgendwie falsch, aber es wäre nett wenn du mir zeigen könntest was du genau meinst.
[mm] \phi^n(a)=\bruch{e^{-\alpha t}}{a^{n+1}} [/mm] (und hier muss eigt. eine Summe stehen)
Gute Nacht und danke dir für die Geduld !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Mo 04.06.2012 | | Autor: | notinX |
> Hi, ich weiß noch nicht genau wie man auf diese [mm](-1)^n[/mm]
> kommt, aber es ist richtig und das freut mich, vielleicht
Bei der Ableitung der e-Fkt, kommt jedes Mal ein ein (-1) als Faktor dazu, deshalb alterniert das Vorzeichen.
> werde ich das morgen besser verstehen. Dennoch gilt :
>
> [mm]\int t^ne^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t=(-1)^n\frac{\partial^n}{\partial\alpha^n}\int e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t=(-1)^n\frac{\partial^n}{\partial\alpha^n}(-\bruch{e^{-\alpha t}}{\alpha}+C)=(-1)^{n+1}\frac{\partial^n}{\partial\alpha^n}\bruch{e^{-\alpha t}}{\alpha}.[/mm]
>
> Setzte [mm]\phi(a):=\bruch{e^{-\alpha t}}{\alpha} +C[/mm]. Wenn ich
> die Ableitungen davon bilde nach [mm]\alpha[/mm] erhalte schon ein
> "System", aber nicht wirklich eine Gleichung. Vielleicht
> liege auch irgendwie falsch, aber es wäre nett wenn du mir
> zeigen könntest was du genau meinst.
Was ich meinte steht dort. Ich weiß nicht, welche Gleichung Du meinst. Da steht doch eine.
>
> [mm]\phi^n(a)=\bruch{e^{-\alpha t}}{a^{n+1}}[/mm] (und hier muss
> eigt. eine Summe stehen)
>
> Gute Nacht und danke dir für die Geduld !
Gruß,
notinX
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Und eine Stammfunktion ist ([mm]n=168[/mm]):
[mm]F(x) = - \frac{n!}{\alpha^{n+1}} \cdot \operatorname{e}^{- \alpha x} \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left( \alpha x \right)^k}{k!}[/mm]
Auffallend ist, daß die Reihe gerade die [mm]n[/mm]-te Partialsumme der Potenzreihe von [mm]\operatorname{e}^{\alpha x}[/mm] ist.
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