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| Aufgabe | Integrieren Sie folgende Funktion:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}(3x^5+2x^4+3x^3)/(x^4-1) [/mm] |
Hallo liebe Mitglieder,
ich habe von meinem Prof die oben genannte Aufgabe bekommen, komme aber alleine nicht weiter.
Mein Plan war erst eine Polynomendivision durchzuführen, danach eine Partialbruchzerlegung zu machen um letztendlich integrieren zu können.
Leider komm ich bei der Partialbruchzerlegung nicht weiter, deshalb bitte ich um eure Hilfe und um eine ausfürliche Lösung. Nach meiner Polynomendivision kam folgendes raus.
[mm] 3x+2+(3x+2+3x^3)/(x^4-1).
[/mm]
falls einer nicht alles weiß, auch nur teilschrittekönntn für mich hilfreich sein
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo serious2005,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Integrieren Sie folgende Funktion:
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}(3x^5+2x^4+3x^3)/(x^4-1)[/mm]
[mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{3x^5+2x^4+3x^3}{x^4-1} \ dx}[/mm]
> Hallo
> liebe Mitglieder,
>
> ich habe von meinem Prof die oben genannte Aufgabe
> bekommen, komme aber alleine nicht weiter.
> Mein Plan war erst eine Polynomendivision durchzuführen,
> danach eine Partialbruchzerlegung zu machen um letztendlich
> integrieren zu können.
> Leider komm ich bei der Partialbruchzerlegung nicht
> weiter, deshalb bitte ich um eure Hilfe und um eine
> ausfürliche Lösung. Nach meiner Polynomendivision kam
> folgendes raus.
> [mm]3x+2+(3x+2+3x^3)/(x^4-1).[/mm]
[mm]3x+2+\bruch{3x+2+3x^3}{x^4-1} [/mm]
> falls einer nicht alles weiß, auch nur
> teilschrittekönntn für mich hilfreich sein
>
Für den gebrochenrationalen Term machst Du den Ansatz
[mm]\bruch{3x+2+3x^3}{x^4-1}=\bruch{Ax+B}{x^{2}+1}+\bruch{C}{x+1}+\bruch{D}{x-1}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Hey
vielen dank für die antwort!
wäre es machbar, das du die aufgabe weiter rechnest?
Lieben gruß serious
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 So 07.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hey
>
> vielen dank für die antwort!
> wäre es machbar, das du die aufgabe weiter rechnest?
Im Sinne der Forenregeln ist es aber, das Du Dich darum bemühst, die
Zahlen A,B,C und D in
$ [mm] \bruch{3x+2+3x^3}{x^4-1}=\bruch{Ax+B}{x^{2}+1}+\bruch{C}{x+1}+\bruch{D}{x-1} [/mm] $
bestimmst .
FRED
>
> Lieben gruß serious
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ich bekomme folgendes raus:
[mm] (6x-1)/(x^2+1)+1/(x+1)+2/(x-1)
[/mm]
stimmt meine partialbruchzerlegung?
was wäre jetzt der nächste schritt zum integrieren? und gäbe es auch eine einfachere möglichkeit die aufgabe zu lösen ohne eine partialbruchzerlegung anzuwenden?
Lg serious
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Hallo serious,
Deine Polynomdivision stimmt (und wurde ja schon zweimal überprüft).
> ich bekomme folgendes raus:
> [mm](6x-1)/(x^2+1)+1/(x+1)+2/(x-1)[/mm]
>
> stimmt meine partialbruchzerlegung?
Nein, das stimmt nicht.
Rechne mal vor, wie Du darauf kommst, dann finden wir den Fehler in Deiner Rechnung. 
> was wäre jetzt der nächste schritt zum integrieren?
Alles zu seiner Zeit...
Alle drei Summanden sind aber leicht zu integrieren. Nur stimmen sie halt noch nicht.
> und
> gäbe es auch eine einfachere möglichkeit die aufgabe zu
> lösen ohne eine partialbruchzerlegung anzuwenden?
Nein.
Im übrigen stimmt die Aufgabe so, wie Du sie zuerst hier eingestellt hast, sicher nicht. Der Term $f(x)$ ist hoffentlich nur versehentlich da hineingeraten. Ansonsten könnte man die Aufgabe nämlich nicht lösen.
Grüße
reverend
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1. [mm] (3x+2+3x^3)/(x^4-1)=(ax+b)/(x^2+1)+c/(x+1)+d/(x-1)
[/mm]
2. [mm] 3x+2+3x^3=ax^3-ax+bx^2-b+cx^3-cx^2+cx-c+dx^3+dx^2+dx+d
[/mm]
3. x=1 2=d
4. x=-1 1=c
5. x=0 -1=B
6. Koeffizientenvergleich: 0=-ax+x+2x+3x a=6
wo ist mein fehler?
und wie kann ich bruchstriche machen :-D ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Mo 08.04.2013 | | Autor: | chrisno |
> 1. [mm](3x+2+3x^3)/(x^4-1)=(ax+b)/(x^2+1)+c/(x+1)+d/(x-1)[/mm]
> 2. [mm]3x+2+3x^3=ax^3-ax+bx^2-b+cx^3-cx^2+cx-c+dx^3+dx^2+dx+d[/mm]
> 3. x=1 2=d
> 4. x=-1 1=c
> 5. x=0 -1=B
> 6. Koeffizientenvergleich: 0=-ax+x+2x+3x a=6
Der Koeffizientenvergleich wird für die Vorfaktoren der Potenzen von x durchgeführt.
für [mm] $x^3$: $3x^3 [/mm] = [mm] ax^3 [/mm] + [mm] cx^3 +dx^3$ [/mm] und damit $3 = a + c + d$
für [mm] $x^2$:...
[/mm]
für [mm] $x^1$:...
[/mm]
für [mm] $x^0$: [/mm] $2 = -b-c+d$
Damit hast Du ein lineares Gleichungssystem, das musst Du lösen.
>
> wo ist mein fehler?
> und wie kann ich bruchstriche machen :-D ?
Tippe unten auf [mm] $\bruch{3}{4}$
[/mm]
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ich weiß jetzt nicht ob ich das so richtig verstanden habe...
aber ist a = 0?
wenn ja wäre was der nächste schritt?
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also wäre das meine partialbruchzerlegung der funktion
[mm] -1/(x^2+1)+1/(x+1)+3*x+2/(x-1)+2
[/mm]
wie integriere ich jetzt?
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wäre das richtig integriert und wenn ja könnte man es noch schöner umformen?
[mm] -1ln(x^2+1)+1ln(x+1)+\bruch{3}{2}*x^2+2ln(x-1)+2x
[/mm]
wollte mich außerdem mal für eure hilfe bis jetzt bedanken!!!
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Hallo,
> wäre das richtig integriert und wenn ja könnte man es
> noch schöner umformen?
>
> [mm]-1ln(x^2+1)+1ln(x+1)+\bruch{3}{2}*x^2+2ln(x-1)+2x[/mm]
Es stimmt alles bis auf den ersten Summanden [mm] $\ln(x^2+1)$. [/mm] Das muss stattdessen mit dem Arcustangens integriert werden.
Wesentlich schöner kannst du das nicht mehr umformen. Es gibt natürlich noch die Logarithmengesetze [mm] $\ln(a)+\ln(b) [/mm] = [mm] \ln(a*b)$, [/mm] womit du die beiden Logarithmen zusammenfassen kannst.
Viele Grüße,
Steafn
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> Hallo,
>
> > wäre das richtig integriert und wenn ja könnte man
> es
> > noch schöner umformen?
> >
> > [mm]-1ln(x^2+1)+1ln(x+1)+\bruch{3}{2}*x^2+2ln(x-1)+2x[/mm]
>
> Es stimmt alles bis auf den ersten Summanden [mm]\ln(x^2+1)[/mm].
> Das muss stattdessen mit dem Arcustangens integriert
> werden.
>
> Wesentlich schöner kannst du das nicht mehr umformen. Es
> gibt natürlich noch die Logarithmengesetze [mm]\ln(a)+\ln(b) = \ln(a*b)[/mm],
> womit du die beiden Logarithmen zusammenfassen kannst.
>
> Viele Grüße,
> Steafn
wäre das gesetz dann so angewant richtig?
[mm] 2ln(x^2-1)-arctan(x)+2x+\bruch{3}{2}x^2
[/mm]
stimmt der faktor 2 dann vornedran?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:44 Di 09.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > > wäre das richtig integriert und wenn ja könnte man
> > es
> > > noch schöner umformen?
> > >
> > > [mm]-1ln(x^2+1)+1ln(x+1)+\bruch{3}{2}*x^2+2ln(x-1)+2x[/mm]
> >
> > Es stimmt alles bis auf den ersten Summanden [mm]\ln(x^2+1)[/mm].
> > Das muss stattdessen mit dem Arcustangens integriert
> > werden.
> >
> > Wesentlich schöner kannst du das nicht mehr umformen. Es
> > gibt natürlich noch die Logarithmengesetze [mm]\ln(a)+\ln(b) = \ln(a*b)[/mm],
> > womit du die beiden Logarithmen zusammenfassen kannst.
> >
> > Viele Grüße,
> > Steafn
>
>
> wäre das gesetz dann so angewant richtig?
>
> [mm]2ln(x^2-1)-arctan(x)+2x+\bruch{3}{2}x^2[/mm]
>
> stimmt der faktor 2 dann vornedran?
Nein.
[mm] ln(x+1)+2ln(x-1)=ln(x+1)+ln((x-1)^2)=ln((x+1)(x-1)^2)
[/mm]
FRED
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Hallo,
> also wäre das meine partialbruchzerlegung der funktion
> [mm]-1/(x^2+1)+1/(x+1)+3*x+2/(x-1)+2[/mm]
Ja, das ist korrekt. Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier bei Wolframalpha unter "Alternate forms".
> wie integriere ich jetzt?
Nun, es gilt [mm] $\ln(x)' [/mm] = [mm] \frac{1}{x}$ [/mm] und [mm] $\arctan(x)' [/mm] = [mm] \frac{1}{x^2+1}$. [/mm] Damit kannst du den Ausdruck integrieren.
Viele Grüße,
Stefan
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> Hallo,
>
> > also wäre das meine partialbruchzerlegung der
> funktion
> > [mm]-1/(x^2+1)+1/(x+1)+3*x+2/(x-1)+2[/mm]
>
> Ja, das ist korrekt. Siehe auch
> hier bei Wolframalpha
> unter "Alternate forms".
>
> > wie integriere ich jetzt?
>
> Nun, es gilt [mm]\ln(x)' = \frac{1}{x}[/mm] und [mm]\arctan(x)' = \frac{1}{x^2+1}[/mm].
> Damit kannst du den Ausdruck integrieren.
>
woher weiß ich das ich mit dem arctan integrieren muss? also was ist das für eine regel?
2*x + [mm] (3*x^2)/2 [/mm] - ArcTan[x] + 2*ln[-1 + x] + ln[1 + x]
also stimmt das?
und wann nehm ich log und wann ln zum integrieren?
danke für deine hilfe!
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Hallo,
> > > also wäre das meine partialbruchzerlegung der
> > funktion
> > > [mm]-1/(x^2+1)+1/(x+1)+3*x+2/(x-1)+2[/mm]
> > > wie integriere ich jetzt?
> >
> > Nun, es gilt [mm]\ln(x)' = \frac{1}{x}[/mm] und [mm]\arctan(x)' = \frac{1}{x^2+1}[/mm].
> > Damit kannst du den Ausdruck integrieren.
> woher weiß ich das ich mit dem arctan integrieren muss?
Weil 1/x bzw. 1/(x+1) etwas anderes ist als [mm] $1/(x^2+1)$. [/mm] Da steht ja ein Quadrat im Nenner!
Und du kannst es ja auch ausprobieren: [mm] $\ln(x^2 [/mm] + 1)$ abgeleitet ergibt NICHT [mm] $1/(x^2+1)$, [/mm] weil wegen der Kettenregel noch ein Faktor hinzukommt.
> also was ist das für eine regel?
Eine Regel, die man sich (leider) merken muss.
> 2*x + [mm](3*x^2)/2[/mm] - ArcTan[x] + 2*ln[-1 + x] + ln[1 + x]
>
> also stimmt das?
Ja, das ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
> und wann nehm ich log und wann ln zum integrieren?
Der [mm] \ln(x) [/mm] hat die Ableitung [mm] $\frac{1}{x}$. [/mm] Den [mm] $\log$ [/mm] (zu welcher Basis auch immer) also NICHT zum integrieren von 1/x benutzen, sondern immer den natürlichen Logarithmus!
Viele Grüße,
Stefan
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gilt die regel nur bei genau dem $ [mm] 1/(x^2+1) [/mm] $ , das man den arctan(x) anwendet?
oder gilt die regel für mehr ausnahmen mit dem arctan?
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Hallo serious2005,
> gilt die regel nur bei genau dem [mm]1/(x^2+1)[/mm] , das man den
> arctan(x) anwendet?
> oder gilt die regel für mehr ausnahmen mit dem arctan?
Diese Regel gilt nur bei genau dem [mm]\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm]
Ferner gilt für lineare Polynome:
[mm]\left( \ \arctan\left(x+c\right) \ \right)'=\bruch{1}{1+\left(x+c\right)^{2}}[/mm]
Gruss
MathePower
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> Hallo serious2005,
>
> > gilt die regel nur bei genau dem [mm]1/(x^2+1)[/mm] , das man den
> > arctan(x) anwendet?
> > oder gilt die regel für mehr ausnahmen mit dem arctan?
>
>
> Diese Regel gilt nur bei genau dem [mm]\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm]
>
> Ferner gilt für lineare Polynome:
>
> [mm]\left( \ \arctan\left(x+c\right) \ \right)'=\bruch{1}{1+\left(x+c\right)^{2}}[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
>
>
Leider muss ich schon wieder was fragen =(
könnte man das ganze
> [mm]\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm]
>
auch durch substitution erklären?
oder ist das wirklich einfach eine regel die man weiß oder man hat pech...?
nicht das mein prof morgen ne dumme frage stellt und ich hab keine ahnung...
gruß serious
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Hallo,
> Leider muss ich schon wieder was fragen =(
> könnte man das ganze
>
> > [mm]\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm]
> >
>
> auch durch substitution erklären?
Wie meinst du das genau? Ob man
[mm] \int{ \frac{1}{1+x^2} dx}=arctan(x)+c[/mm]
durch Substitution erklären kann? Nein, das geht nicht.
> oder ist das wirklich einfach eine regel die man weiß
> oder man hat pech...?
Auch das ist natürlich nicht so. Die Arkustangensfunktion ist die Umkehrfunktion des Tangens auf [mm]\left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)[/mm] und man leitet deren Ableitung über die Ableitung der Umkehrfunktion
[mm]\left(f^{(-1)}(y)\right)'= \frac{1}{f'(x)}[/mm]
her.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> > Leider muss ich schon wieder was fragen =(
> > könnte man das ganze
> >
> > > [mm]\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm]
> > >
> >
> > auch durch substitution erklären?
>
> Wie meinst du das genau? Ob man
>
> [mm]\int{ \frac{1}{1+x^2} dx}=arctan(x)+c[/mm]
>
> durch Substitution erklären kann? Nein, das geht nicht.
ja genau ob man halt [mm] (1+x^2) [/mm] mit u substituieren kann und dann dadurch integrieren...
>
> > oder ist das wirklich einfach eine regel die man weiß
> > oder man hat pech...?
>
> Auch das ist natürlich nicht so. Die Arkustangensfunktion
> ist die Umkehrfunktion des Tangens auf [mm]\left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)[/mm] und
> man leitet deren Ableitung über die Ableitung der
> Umkehrfunktion
>
> [mm]\left(f^{(-1)}(y)\right)'= \frac{1}{f'(x)}[/mm]
>
> her.
>
könntest du das mal machen mit meiner funktion
also mit [mm] 1/(x^2+1) [/mm] also das du das mal integrierst?
und eine letzte frage:
kann man [mm] 1/(x^2+1) [/mm] irgendwie umschreiben?
gruß serious
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Hallo,
>
> könntest du das mal machen mit meiner funktion
>
> also mit [mm]1/(x^2+1)[/mm] also das du das mal integrierst?
Du hast das falsch verstanden: man leitet die Arkustangensfunktion ab und das Resultat ist die obige Funktion.
>
> und eine letzte frage:
>
> kann man [mm]1/(x^2+1)[/mm] irgendwie umschreiben?
Nicht wirklich, zumindest nicht so, dass es in diesem Zusammenhang irgendeinen Sinn ergäbe.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:39 Mi 10.04.2013 | | Autor: | serious2005 |
> Hallo,
>
> >
> > könntest du das mal machen mit meiner funktion
> >
> > also mit [mm]1/(x^2+1)[/mm] also das du das mal integrierst?
>
> Du hast das falsch verstanden: man leitet die
> Arkustangensfunktion ab und das Resultat ist die obige
> Funktion.
okay und nach welcher regel leitet man das ab?
würdest du mir das mal aufschreiben?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:30 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
ich habe dir weiter oben aufgeschrieben, dass man die Formel für die Ableitung einer Umkehrfunktion verwendet. Du benötigst dafür nur noch
[mm] (tan(x))'=\bruch{1}{cos^2x}
[/mm]
Gruß, Diophant
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Ja, a = 0.
Viele Grüße,
Stefan
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