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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{-2}^{3}{|x^{2}-2x-3| dx} [/mm] |
Hallo allerseits,
komme mit dem Betrag nicht klar. Dachte daran das Integral in 2 Teilintegrale aufzuspalten. Habe hierfür mal die Nullstellen berechnet und die Funktion mal gezeichnet. Die Nullstellen sind -1 und 3. Von -1 bis 3 verläuft der Graph im negativen Bereich.
Der Betrag wird ja wie folgt definiert: [mm] |x^{2}-2x-3| [/mm] = [mm] \begin{cases} x^{2}-2x-3, & \mbox{für } x\ge -1 \mbox{ } \\ -(x^{2}-2x-3), & \mbox{für } x>-1 \mbox{ } \end{cases} [/mm] ,
d.h. das Integral müsste dann so aussehen: [mm] \integral_{-2}^{-1}{-x^{2}+2x+3 dx} [/mm] + [mm] \integral_{-1}^{3}{x^{2}-2x-3 dx}
[/mm]
Weiß nicht so recht ob das so hinhaut. Könnte mal jemand darübersehen und mir einen Tipp geben.
MfG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Mo 29.03.2010 | | Autor: | Hoffmann79 |
Hallo MaRaQ,
natürlich, hatte das [mm] \le [/mm] -1 vertauscht. Nach dem Einsetzen der Grenzen kam ich auf das Ergebnis von 13 FE, was der vorgegebenen Lösung entspricht.
Vielen Dank
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Hallo Daniel,
> Berechnen Sie [mm]\integral_{-2}^{3}{|x^{2}-2x-3| dx}[/mm]
> Hallo
> allerseits,
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> komme mit dem Betrag nicht klar. Dachte daran das Integral
> in 2 Teilintegrale aufzuspalten. Habe hierfür mal die
> Nullstellen berechnet und die Funktion mal gezeichnet. Die
> Nullstellen sind -1 und 3. Von -1 bis 3 verläuft der Graph
> im negativen Bereich.
>
> Der Betrag wird ja wie folgt definiert: [mm]|x^{2}-2x-3|[/mm] =
> [mm]\begin{cases} x^{2}-2x-3, & \mbox{für } x\ge -1 \mbox{ } \\ -(x^{2}-2x-3), & \mbox{für } x>-1 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
> ,
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> d.h. das Integral müsste dann so aussehen:
> [mm]\integral_{-2}^{-1}{-x^{2}+2x+3 dx}[/mm] + [mm]\integral_{-1}^{3}{x^{2}-2x-3 dx}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Genau andersherum:
Es ist [mm] $g(x)=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)\ge 0\gdw x\ge [/mm] 3 \ [mm] \text{oder} [/mm] \ [mm] x\le [/mm] -1$
und [mm] $g(x)<0\gdw [/mm] -1<x<3$
Also verläuft die Funktion ohne Betrag im Bereich zwischen -1 und 3 unterhalb der x-Achse und sonst oberhalb...
Also [mm] $\int\limits_{-2}^{3}{|x^2-2x-3| \ dx}=\int\limits_{-2}^{-1}{(x^2-2x-3) \ dx} [/mm] \ + \ [mm] \int\limits_{-1}^3{-(x^2-2x-3) \ dx}$
[/mm]
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> Weiß nicht so recht ob das so hinhaut. Könnte mal jemand
> darübersehen und mir einen Tipp geben.
>
> MfG
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Mo 29.03.2010 | | Autor: | MaRaQ |
Gutes Auge, Schachuzipus. Der Dreher bei der Betragsfunktion war mir ja auch aufgefallen, leider dennoch nicht, dass dann bei den Integralen falsch herum eingesetzt wurde. (Denkfehler)
Ich habe es sicherheitshalber auch mal in meinem Beitrag (bezugnehmend auf deinen) korrigiert. Will ja nichts falsches stehen lassen. 
Schöne Grüße,
Tobias
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
