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Hi,
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Ich stehe gerade wie der Ochs vorm Scheunentor. Ich weiß nicht, wie ich
[mm]\integral_{t_{0}}^{t} e^{-\left| x \right|}\, dx [/mm] richtig integriere. Hab schon Substitutionsmethode probiert, aber ich drehe mich damit nur im Kreis...
also durch Fallunterscheidung für t<0 und t>0 könnte ich es ja machen, aber mir ist wichtig, wie ich die Stammfunktion vernünftig hinbekomme ohne diese Fallunterscheidung...
danke
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Hallo devilsdoormat,
> Hi,
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> ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Ich stehe gerade wie der Ochs vorm Scheunentor. Ich weiß
> nicht, wie ich
> [mm]\integral_{t_{0}}^{t} e^{-\left| x \right|}\, dx[/mm] richtig
> integriere. Hab schon Substitutionsmethode probiert, aber
> ich drehe mich damit nur im Kreis...
>
> also durch Fallunterscheidung für t<0 und t>0 könnte ich es
> ja machen, aber mir ist wichtig, wie ich die Stammfunktion
> vernünftig hinbekomme ohne diese Fallunterscheidung...
Es gilt ja [mm]\vmat{x}=sgn\left(x\right)*x[/mm], wobei ![[]](/images/popup.gif) sgn das Vorzeichen von x bedeutet.
>
> danke
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo devilsdoormat!
Was stört dich an der Fallunterscheidung? Die ist hier doch schnell durchgeführt ...
Oder kannst Du gar auf die Betragsstriche ganz verzichten, da Deine Integrationsgrenzen [mm] $t,t_0$ [/mm] beide jeweils negativ oder positiv sind?
Anderenfalls kannst Du das Integral auch in zwei Teilintegrale zerlegen.
Gruß
Loddar
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also prinzipiell soll ich ne Differentialgleichung lösen, die da lautet [mm] x''(t) = \bruch{F_{0}}{m} * e^{-\alpha F_{0} \left| t \right|}[/mm], wobei [mm] t\in (-\infty, \infty) [/mm] gilt. Randbedingungen sind [mm] \lim_{t \to -\infty}x(t) [/mm] = 0 [mm] und\lim_{t \to -\infty}x'(t) [/mm] = 0 ... ich dachte ich setze [mm] \lim_{t \to -\infty}t [/mm] = [mm] t_{0}. [/mm] Dann kann ich das Integral ganz allgemein von [mm] t_{0} [/mm] bis t laufen lassen.
von daher ist [mm] t_{0} [/mm] negativ, aber über t kann man keine Aussage machen. Und deswegen will ich das Integral auch nicht zerpflücken. Sonst würde ich ja keine vernünftige Funktion herausbekommen... glaube ich zumindest... ich bin noch nicht so ganz bewandert bei Differentialgleichungen
hmm... bin etwas ratlos
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Merle23 |
> also prinzipiell soll ich ne Differentialgleichung lösen,
> die da lautet [mm]x''(t) = \bruch{F_{0}}{m} * e^{-\alpha F_{0} \left| t \right|}[/mm],
> wobei [mm]t\in (-\infty, \infty)[/mm] gilt. Randbedingungen sind
> [mm]\lim_{t \to -\infty}x(t)[/mm] = 0 [mm]und\lim_{t \to -\infty}x'(t)[/mm] = 0
Bilde doch einfach die Stammfunktionen x'(t) = [mm] \integral{x''(t) dt} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{F_{0}}{m} * e^{-\alpha F_{0} \left| t \right|} dt} [/mm] und [mm] x(t)=\integral{x'(t) dt}.
[/mm]
Wegen den Betragsstrichen, da trennste das einfach auf in t<0 und [mm] t\ge [/mm] 0. Beim Integrieren kriegste ja dann diese Integrationskonstante C. Diese wählst du bei der Stammfunktion zu t<0 so, dass die Randbedingung passt, und bei [mm] t\ge [/mm] 0 so, dass die beiden Stammfunktionen in t=0 stetig zusammenpassen, also keinen Sprung haben.
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