Integration Fubini < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Sei [mm] X = Y = \left[ 0,1 \right] [/mm], sei [mm] \mu [/mm] das Lebesque - Maß auf X und [mm] \nu : \mathcal P (Y) \to \left[0, \infty \right] [/mm] das Zählmaß auf Y. Betrachten Sie die Funktion [mm] \chi_{ \Delta } (x,y ) = \left\{\begin{matrix} 1, & x=y \\
0, & x \ne y \end{matrix}\right. [/mm]
Berechnen Sie die Integrale
[mm] \integral_{X} \integral_{Y} \chi_{ \Delta } d\nu d\mu [/mm] und [mm] \integral_{Y} \integral_{X} \chi_{ \Delta } d\mu d\nu [/mm].
Warum ist das kein Gegenbeispiel zum Satz von Fubini? |
Guten Abend alle zusammen!
Ich habe mal wieder Probleme mit Fubini, besser ausgedrückt, mit der Berechnung des Integrals.
Ich weiß garnicht wie ich hier ansetzen soll. Das Zählmaß verwirrt mich irgendwie, da ich hier über zwei Variablen integrieren soll und ich weiß ehrlich gesagt nicht wie!
Könnte mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie ich ansetzen soll und mir das vielleicht etwas verständlicher machen.
Vielen Dank!
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:59 So 09.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Irmchen
> Sei [mm]X = Y = \left[ 0,1 \right] [/mm], sei [mm]\mu[/mm] das Lebesque - Maß
> auf X und [mm]\nu : \mathcal P (Y) \to \left[0, \infty \right][/mm]
> das Zählmaß auf Y. Betrachten Sie die Funktion [mm]\chi_{ \Delta } (x,y ) = \left\{\begin{matrix} 1, & x=y \\
0, & x \ne y \end{matrix}\right.[/mm]
>
> Berechnen Sie die Integrale
>
> [mm]\integral_{X} \integral_{Y} \chi_{ \Delta } d\nu d\mu[/mm] und
> [mm]\integral_{Y} \integral_{X} \chi_{ \Delta } d\mu d\nu [/mm].
>
> Warum ist das kein Gegenbeispiel zum Satz von Fubini?
>
> Guten Abend alle zusammen!
>
> Ich habe mal wieder Probleme mit Fubini, besser
> ausgedrückt, mit der Berechnung des Integrals.
> Ich weiß garnicht wie ich hier ansetzen soll. Das Zählmaß
> verwirrt mich irgendwie, da ich hier über zwei Variablen
> integrieren soll und ich weiß ehrlich gesagt nicht wie!
Du hast zwei Integrale, die jeweils ueber eine Variable gehen! Erstmal hast du die Integrale [mm] $\int_Y \chi_Delta d\nu$ [/mm] und [mm] $\int_X \chi_\Delta d\mu$, [/mm] bei denen jeweils $x$ bzw. $y$ eine Konstante ist.
Du erhaelst also eine Funktion, die jedem $x$ das Integral [mm] $\int_Y \chi_Delta d\nu$ [/mm] zuordnet; diese integrierst du nochmal, und zwar ueber $X$ mit dem Mass [mm] $d\mu$, [/mm] und bekommst damit das Doppelintegral [mm] $\int_X \int_Y \chi_\Delta d\nu d\mu$. [/mm] Und genauso geht das andere Doppelintegral.
Hier ein etwas einfacheres Beispiel:
Sei $f(x, y) = x y$, und sei $X = [0, 1] = Y$ und [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\nu$ [/mm] jeweils das Lebesguemass auf $X$ bzw. $Y$. Dann ist [mm] $\int_X \int_Y [/mm] f [mm] d\nu d\mu [/mm] = [mm] \int_0^1 \int_0^1 [/mm] f(x, y) dy [mm] \; [/mm] dx = [mm] \int_0^1 \int_0^1 [/mm] x y [mm] \; [/mm] dy [mm] \; [/mm] dx = [mm] \int_0^1 \frac{1}{2} [/mm] x [mm] \; [/mm] dx = [mm] \frac{1}{4}$.
[/mm]
Hilft dir das etwas weiter?
Versuch eins der Doppelintegrale doch mal auszurechnen und schreib hier hin, was du herausbekommst (inkl. Zwischenschritte, insb. falls du es nicht rausbekommst, sonst koennen wir dir nicht wirklich helfen)!
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 09.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Mir ist im allgemeinen klar wie man das rechnet... Bis jetzt habe ich aber nur über das Lebesque-Maß gerechnet, aber nie über das Zählmaß in Kombination mit einem Lebesque-Maß... Das macht mich total unsicher... :-(
Also ( ich weiß nicht, wie ich das richtig formal aufschreiben soll, deswegen kann ich nicht für die richtige Schreibweise garantieren ):
Hier ist [mm] \mu [/mm] das Lebesque-Maß auf [mm] X = \left[0,1 \right] und [/mm] [mm] \nu [/mm] [/mm] das Zählmaß auf [mm] Y = \left[0,1 \right] [/mm].
Und meine Funktion ist [mm] \chi_{\Delta} : (x,y) \to \mathbb R [/mm] , die den Wert 1 annimmt , wenn [mm] x=y [/mm] ist und sonst 0 .
Also ich integriere somit über die Diagonale des Einheitsquadrates, richtig?
Dann muss ich ja einerseits:
(*) [mm] \integral_{0}^1 \mu (dx ) \integral_{0}^1 \nu (dy ) \chi_{\Delta} (x,y) [/mm]
und andererseits
(**) [mm] \integral_{0}^1 \nu (dy) \integral_{0}^1 \mu (dx) \chi_{\Delta} (x,y) [/mm]
berechnen.
Ist das auch richtig?
So jetzt kommt mein Hauptproblem:
Bei (*) weiß ich nicht wie ich das
[mm] \integral_{0}^1 \nu (dy ) \chi_{\Delta} (x,y) [/mm] berechnen soll... Wie soll ich diese Bedingung x = y da unterbringen? Und was heiß über Zählmaß integrieren? Ich stell mich gerade wahrscheinlich ziemlich blöd an, aber ich weiß im moment wirklich nicht weiter...
Wenn ich dieses Integral ausrechnet habe muss ich das Ergebnis über das Lebeswie-Maß integrieren über X... Soweit ist mir das klar.
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Mo 10.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Irmchen
> Mir ist im allgemeinen klar wie man das rechnet... Bis
> jetzt habe ich aber nur über das Lebesque-Maß gerechnet,
> aber nie über das Zählmaß in Kombination mit einem
> Lebesque-Maß... Das macht mich total unsicher... :-(
Das Zaehlmass ist eigentlich ganz einfach: wenn $f : [a, b] [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion ist und [mm] $\nu$ [/mm] das Zaehlmass auf $[a, b]$, dann ist [mm] $\int_a^b [/mm] f(x) [mm] \; \nu(dx) [/mm] = [mm] \sum_{x \in [a, b]} [/mm] f(x)$, wenn $f$ nur an endlich vielen Elementen $x [mm] \in [/mm] [a, b]$ ungleich 0 ist.
Wenn es an unendlich vielen Punkten [mm] $\neq [/mm] 0$ ist, wird's ein wenig komplizierter. Dann muss man $f := f^+ - f^-$ schreiben mit $f^+(x), f^-(x) [mm] \ge [/mm] 0$ und $f^+(x) f^-(x) = 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] [a, b]$. In dem Fall ist [mm] $\int_a^b [/mm] f(x) [mm] \; \nu(dx) [/mm] = [mm] \int_a^b [/mm] f^+(x) [mm] \; \nu(dx) [/mm] - [mm] \int_a^b [/mm] f^-(x) [mm] \; \nu(dx)$, [/mm] wenn hoechstens eines der beiden Integrale den Wert [mm] $\infty$ [/mm] annimmt; andernfalls ist das Integral nicht definiert.
Du hast hier eine Funktion, die immer 0 oder 1 ist. Dann ist [mm] $\int [/mm] f(x) [mm] \; \nu(dx)$ [/mm] gleich der Anzahl der Elemente im Traeger von $f$, also der Elemente $x [mm] \in [/mm] [a, b]$ fuer die $f(x) = 1$ gilt. (Also insb. unendlich wenn es unendlich viele Elemente sind).
Damit solltest du das Integral jetzt ausrechnen koennen.
> Also ( ich weiß nicht, wie ich das richtig formal
> aufschreiben soll, deswegen kann ich nicht für die richtige
> Schreibweise garantieren ):
>
> Hier ist [mm]\mu[/mm] das Lebesque-Maß auf [mm]X = \left[0,1 \right] und[/mm]
> [mm]\nu[/mm][/mm] das Zählmaß auf [mm]Y = \left[0,1 \right] [/mm].
>
> Und meine Funktion ist [mm]\chi_{\Delta} : (x,y) \to \mathbb R[/mm]
> , die den Wert 1 annimmt , wenn [mm]x=y[/mm] ist und sonst 0 .
> Also ich integriere somit über die Diagonale des
> Einheitsquadrates, richtig?
>
> Dann muss ich ja einerseits:
>
> (*) [mm]\integral_{0}^1 \mu (dx ) \integral_{0}^1 \nu (dy ) \chi_{\Delta} (x,y)[/mm]
>
> und andererseits
>
> (**) [mm]\integral_{0}^1 \nu (dy) \integral_{0}^1 \mu (dx) \chi_{\Delta} (x,y)[/mm]
>
> berechnen.
> Ist das auch richtig?
Genau.
> So jetzt kommt mein Hauptproblem:
>
> Bei (*) weiß ich nicht wie ich das
>
> [mm]\integral_{0}^1 \nu (dy ) \chi_{\Delta} (x,y)[/mm] berechnen
> soll... Wie soll ich diese Bedingung x = y da unterbringen?
Also $x$ ist ja erstmal eine Konstante (zumindest fuer dieses Integral). Du hast also die Funktion $y [mm] \mapsto \chi_\Delta(x, [/mm] y)$, die fuer $y = x$ gleich 1 und fuer $y [mm] \neq [/mm] x$ gleich 0 ist. Damit ist [mm] $\int_0^1 \chi_\Delta(x, [/mm] y) [mm] \nu(dy) [/mm] = 1$.
Ich hoffe das ganze ist jetzt etwas klarer... :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo nochmal!
Sorry, dass ich mich erst jetzt wieder melde, war leider gesundheitlich die letzten Tage angeschlangen :-( ...
Ich finde irgendwie noch keinen richtigen Draht zu dieser Aufgabe... So, wenn ich mir jetzt dass angefangene Integral weiter anschauen, dann
weiß ich jetzt aufgrund der Vorarbeit, dass
[mm]\int_0^1 \chi_\Delta(x, y) \nu(dy) = 1[/mm].
Und somit wäre mein nächster Schritt doch
(**) [mm]\integral_{0}^1 \mu (dx) \integral_{0}^1 \nu (dy) \chi_{\Delta} (x,y) = \integral_{0}^1 \mu \cdot 1 (dx) [/mm].
auszurechnen, richtig?
Nur, versteh ich das dortstehen irgendwie nicht ganz... Kann es sein, dass meine Stammfunktion dazu dann einfach nur noch x ist und ich somit als Endergebnis 1 bekomme? Oder muss ich da auch die Tatsache irgendwie berüchsichtigen wie im inneren Integral, dass ich dort angenommen habe, dass x = y ist?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mi 12.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Irmchen
> Sorry, dass ich mich erst jetzt wieder melde, war leider
> gesundheitlich die letzten Tage angeschlangen :-( ...
Gute Besserung (falls du nicht schon wieder gesund bist)!
> Ich finde irgendwie noch keinen richtigen Draht zu dieser
> Aufgabe... So, wenn ich mir jetzt dass angefangene Integral
> weiter anschauen, dann
> weiß ich jetzt aufgrund der Vorarbeit, dass
>
> [mm]\int_0^1 \chi_\Delta(x, y) \nu(dy) = 1[/mm].
Genau.
> Und somit wäre mein nächster Schritt doch
>
>
> (**) [mm]\integral_{0}^1 \mu (dx) \integral_{0}^1 \nu (dy) \chi_{\Delta} (x,y) = \integral_{0}^1 \mu \cdot 1 (dx) [/mm].
>
> auszurechnen, richtig?
Ja. Wobei das letzte Integral etwas komisch geschrieben ist, meinst du [mm] $\int_0^1 [/mm] 1 [mm] \cdot \mu(dx)$?
[/mm]
> Nur, versteh ich das dortstehen irgendwie nicht ganz...
> Kann es sein, dass meine Stammfunktion dazu dann einfach
> nur noch x ist und ich somit als Endergebnis 1 bekomme?
Genau.
> Oder muss ich da auch die Tatsache irgendwie
> berüchsichtigen wie im inneren Integral, dass ich dort
> angenommen habe, dass x = y ist?
Nein, musst du nicht.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ok. Das ist schon mal erfreulich, dass die eine Integrationsrichtung geklappt hat.
Nun zur zweite:
Also:
[mm] \integral_{0}^1 \nu (dy) \integral_{0}^1 \mu(dx) \chi_{\Delta} (x,y) [/mm]
Sehe ich das richtig, dass beim inneren Integral für x = y
[mm] \integral_{0}^1 \mu(dx) \chi_{\Delta} = 1 [/mm]
auch herauskommt ?
Dann würde noch bleiben
[mm] \integral_{0}^1 1 \cdot \nu (dy) [/mm] und da komm ich nicht weiter wieder , leider ...
Ich schätze dass da auch als Endergebnis 1 herauskommt, aber ich bin mir nicht rechnerisch sicher....
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Mi 12.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Irmchen
> Ok. Das ist schon mal erfreulich, dass die eine
> Integrationsrichtung geklappt hat.
:)
> Nun zur zweite:
>
> Also:
>
> [mm]\integral_{0}^1 \nu (dy) \integral_{0}^1 \mu(dx) \chi_{\Delta} (x,y) [/mm]
>
> Sehe ich das richtig, dass beim inneren Integral für x = y
>
>
> [mm]\integral_{0}^1 \mu(dx) \chi_{\Delta} = 1[/mm]
>
> auch herauskommt ?
Nein: die Funktion [mm] $\chi_\Delta$ [/mm] hat fuer festes $y$ an genau einem Punkt den Wert 1 (naemlich fuer $x = y$), und an allen anderen Punkten den Wert 0 (also fuer $x [mm] \neq [/mm] y$). Da du beim Lebesgue-Mass die Funktion in einer Nullmenge aendern kannst, ohne dass sich der Wert des Integrals aendert, und ein einzelnder Punkt eine Nullmenge bildet, ist der Wert des Integrals ueber diese Funktion also gleich dem Wert des Integrals ueber die Nullfunktion (wenn man den Punkt $x = y$ aendert). Und der ist 0.
> Dann würde noch bleiben
>
> [mm]\integral_{0}^1 1 \cdot \nu (dy)[/mm] und da komm ich nicht
> weiter wieder , leider ...
Wenn da 0 anstelle von 1 stehen wuerde, dann waer das Integral einfach 0. (Ganz egal nach welchem Mass man integriert.)
> Ich schätze dass da auch als Endergebnis 1 herauskommt,
> aber ich bin mir nicht rechnerisch sicher....
Wenn da 1 steht, dann kommt da [mm] $\infty$ [/mm] raus, da die Funktion an unendlich vielen Stellen (naemlich an jedem Element in $[0, 1]$) den Wert 1 hat, und du nach dem Zaehlmass integrierst.
(Allgemein: integrierst du eine konstante Funktion mit dem Wert $c$ ueber eine Menge $M$, dann ist [mm] $\int_M [/mm] c [mm] \; d\nu [/mm] = c [mm] \cdot \nu(M)$. [/mm] Hier ist $c = 1$ und [mm] $\nu(M) [/mm] = [mm] \nu([0, [/mm] 1]) = [mm] \infty$.)
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 13.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Felix!
Erstmal vielen vielen Dank für die Mühe und Zeit, die Du investierst hast... Ich habe , denke ich jetzt die Aufgabe ( Rechnungen ) verstanden, aber werde mir alles nochmal veranschaulichen und durchrechnen müssen, da ich viele Unklarheiten und Fehler während der Rechnungen hatte... ( wie man es gesehen hat! ).
Um das nochmal zusammen zu fassen:
Einerseits habe ich , wenn ich die Charakteristische Funktion erstmal nach dem Zählmaß integriert habe und dann das Ergebnis nach dem Lebesque- Maß als Endergebnis 1 herausbekommen.
Anderreits, wenn man die Charakteristische Funktion erst nach dem Lebesque- Maß integriert und das Erbebnis dann nachmal über das Zählmaß erhält man Null als Endergebnis.
Das bedeutet, dass theoretisch mach dem Fubini die Voraussetzungen für den Satz nicht erfüllt sein dürften, richtig?
Meine Funktion muss mach den Voraussetzungen des Satzes integrabel sein, sprich die charakt. Funktion in dieser Aufgabe...
Aber ist sie das nicht eigentlich?
Verstehe nicht, warum das kein Gegenbeispiel zu Fubini ist? Die Funktion ist nach meinen Kenntnissen integrabel. Oder ist das falsch??
Oder liegt es irgendwie an dem Produktmaß in dieser Aufgabe? Da es aus dem Zählmaß und Lebesque- Maß besteht? Oder ist das grundsätzlich egal?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Do 13.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Irmchen
> Um das nochmal zusammen zu fassen:
>
> Einerseits habe ich , wenn ich die Charakteristische
> Funktion erstmal nach dem Zählmaß integriert habe und dann
> das Ergebnis nach dem Lebesque- Maß als Endergebnis 1
> herausbekommen.
>
> Anderreits, wenn man die Charakteristische Funktion erst
> nach dem Lebesque- Maß integriert und das Erbebnis dann
> nachmal über das Zählmaß erhält man Null als Endergebnis.
>
> Das bedeutet, dass theoretisch mach dem Fubini die
> Voraussetzungen für den Satz nicht erfüllt sein dürften,
> richtig?
Genau.
> Meine Funktion muss mach den Voraussetzungen des Satzes
> integrabel sein, sprich die charakt. Funktion in dieser
> Aufgabe...
> Aber ist sie das nicht eigentlich?
Ja, wuerd ich so sehen.
> Verstehe nicht, warum das kein Gegenbeispiel zu Fubini
> ist? Die Funktion ist nach meinen Kenntnissen integrabel.
> Oder ist das falsch??
> Oder liegt es irgendwie an dem Produktmaß in dieser
> Aufgabe? Da es aus dem Zählmaß und Lebesque- Maß besteht?
> Oder ist das grundsätzlich egal?
Es gibt noch eine wichtige Voraussetzung bei Fubini: naemlich dass die Masse sigma-endlich sind! Ist das beim Zaehlmass erfuellt?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:27 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Oh klar.... Jetzt leuchtet mir alles ein  !
Danke vielmals!
Viele Grüße
Irmchen
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