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Forum "Integralrechnung" - Integration Kinematikaufgabe
Integration Kinematikaufgabe < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Integration Kinematikaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:12 Mo 16.08.2010
Autor: Nico.

Aufgabe
[mm] \integral_{o}^{v}{f(\bruch{v_{1}}{g-kv_{1}^{2}}) dv_{1}} [/mm]

Hallo zusammen,

ich stehe voll auf dem Schlauch. Könnt ihr mir bitte helfen die Aufgabe zu lösen?  

Die  Lösung die mir vorliegt lautet:
= [mm] -\bruch{1}{2k}(In(g-kv^{2})-In [/mm] g)
= [mm] \bruch{1}{2k}In\bruch{g}{g-kv^{2}} [/mm]

Wie kommt man auf diese Lösung.
Könnt ihr mir bitte die einzelnen Rechenschritte aufzeigen?
Vielen Dank!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Integration Kinematikaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Mo 16.08.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Nicola und erstmal herzlich [willkommenmr],

> [mm]\integral_{o}^{v}{f(\bruch{v_{1}}{g-kv_{1}^{2}}) dv_{1}}[/mm]

Das f ist zuviel ...

>  
> Hallo zusammen,
>  
> ich stehe voll auf dem Schlauch. Könnt ihr mir bitte
> helfen die Aufgabe zu lösen?  
>
> Die  Lösung die mir vorliegt lautet:
>  = [mm]-\bruch{1}{2k}(In(g-kv^{2})-In[/mm] g)
>  = [mm]\bruch{1}{2k}In\bruch{g}{g-kv^{2}}[/mm]
>  
> Wie kommt man auf diese Lösung.
>  Könnt ihr mir bitte die einzelnen Rechenschritte
> aufzeigen?

Ich mache einen Anfang, du den Rest, ok?

Hier hilft eine kleine Umformung und dann eine Substitution weiter:

Es ist [mm] $\frac{v_1}{g-kv_1^2}=\blue{-\frac{1}{2k}}\cdot{}\frac{\blue{-2k}\cdot{}v_1}{g-kv_1^2}$ [/mm]

Also [mm] $\int{\frac{v_1}{g-kv_1^2} \ dv_1}=-\frac{1}{2k}\cdot{}\int{\frac{-2kv_1}{g-kv_1^2} \ dv_1}$ [/mm]

Das ist einfach mit einer geschickt geschriebenen [mm] $\blue{1}$ [/mm] multipliziert.

Jetzt haben wir ein logarithmisches Integral vorliegen, also eines der Bauart [mm] $\int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}$, [/mm] dessen Stammfunktion stadtbekannt ist.

Falls du dich daran nicht erinnern kannst, substituiere (im allg. Fall) mal $u=u(x)=f(x)$

Konkret auf dein Integral bezogen substituiere [mm] $u=u(v_1):=g-kv_1^2$ [/mm]

Dann ist [mm] $u'=\frac{du}{dv_1}=\ldots$, [/mm] also [mm] $dv_1=\ldots$ [/mm]

Das alles einsetzen ins Integral und es wird kinderleicht.

Was die Grenzen angeht, so substituiere sie mit oder berechne erst das Integral in $u$ allg. und resubstituiere in [mm] $v_1$, [/mm] dann kannst du die alten Grenzen nehmen.

>  Vielen Dank!
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Integration Kinematikaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:32 Do 19.08.2010
Autor: Nico.

Vielen Dank nun hab ichs hinbekommen.

Einmal über: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}= [/mm] In f(x)+C

das ist für meine Aufgabe  dann [mm] -\bruch{1}{2k}[In(g-kv_{1}^2]_{0}^v [/mm]

Mit der Substition:

[mm] -\bruch{1}{2k}*\integral_{0}^{v}{\bruch{-2kv_{1}}{g-kv^2_{1}} dx} [/mm]

mit [mm] u=f(x)-g-kv^2_{1} [/mm]                        

[mm] dx=-\bruch{du}{-2kv_{1}} [/mm]  

[mm] \bruch{du}{dx}=-2kv_{1} [/mm]

[mm] -\bruch{1}{2k}*\integral_{0}^{v}{\bruch{-2kv_{1}}{u}*\bruch{du}{-2kv_{1}}}=-\bruch{1}{2k}*\integral_{0}^{v}{\bruch{1}{u}}*du [/mm]

[mm] =-\bruch{1}{2k}*[In(u)+C]_{0}^2 [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2k}*[In(g-kv_{1}^2)]_{0}^2 [/mm]



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