Integration Mannigfaltigkeiten < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Di 23.03.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier eine Definition, mit der ich rein gar nichts anfangen kann:
Sei [mm] M\subset\IR^n [/mm] und [mm] f:M\to\IR. [/mm] Falls eine offene Menge [mm] V\subset\IR^k [/mm] , $1 [mm] \le [/mm] k < n$, und eine injektive Immersion [mm] $\phi \in C^1(V;\IR^n)$ [/mm] existieren, so dass [mm] $\phi(V)\subset [/mm] M$ und $f=0$ auf [mm] M\backslash\phi(V), [/mm] dann nennt man f über M [mm] S^k-integrierbar [/mm] wenn das Integral [mm] $\integral_{M}^{}{f dS^k}=\integral_{V}^{}{f \circ \phi (det \nabla \phi^T \nabla \phi)dL^k}$ [/mm] existiert. Der Flächeninhalt von M ist [mm] $S^k(M)=\integral_{M}^{}{1 dS^k}=\integral_{V}^{}{ (det \nabla \phi^T \nabla \phi)dL^k}$ [/mm]
Ich verstehe an dieser Definition nur Bahnhof...
Also die steht im Kapitel "Integration über Mannigfaltigkeiten".
Ist das die Definition eines Integrals über eine Mannigfaltigkeit?
Wenn ja, wo ist denn in dieser Defintion überhaupt eine Mannigfaltigkeit?
Wir haben in der Vorlersung kurz vor dieser Defintion nur folgendes gesagt:
Sei [mm] k\in\IN [/mm] , $k<n$. Sei [mm] T\in\IR^{n \times k}. [/mm] Sei [mm] A\subset\IR^k [/mm] offen. Dann ist [mm] TA\subset\IR^n [/mm] eine k-dimesionale Mannigfaltigkeit.
Dabei soll T wohl eine Matrix sein.
Das versteh ich auch nicht so ganz.
Ich hab vor einer Weile mir hier mal Untermannigfaltigkeiten erklären lassen, aber mit Matrizen hatte das irgendwie nichts zu tun.
Und ich versteh da auch die Anwendung einer Matrix auf eine Teilmenge irgendwie nicht.
Ich weiß [in der Defintion] auch nicht, was eigentlich eine Immersion ist.
In der Vorlesung wird es nicht erklärt, und aus dem, was ich in Büchern und Internet finde, werde ich nicht schlau.
Auch die Differentiale [mm] dL^k [/mm] und [mm] dS^k [/mm] machen mir Probleme, ich weiß nicht was das heißen soll, in den Integralen ist doch gar keine solche Variable, nach der ich integrieren könnte.
[Das machen Differential doch, oder, sie sagen mir doch, nach welcher Variablen ich integrieren soll, oder?]
Das [mm] L^k [/mm] hat glaub ich irgendwas mit Lebesgue-Maß zu tun, sicher weiß ich das aber auch nicht.
Und das [mm] S^k [/mm] hat glaub ich irgendwas mit k-dimensionalem Flächeninhalt zu tun.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Bald kommen schon Satz von Gauß und Satz von Stokes, und da sieht auch alles so seltsam aus...
LG Nadine
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Di 23.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
> Sei [mm]M\subset\IR^n[/mm] und [mm]f:M\to\IR.[/mm] Falls eine offene Menge
> [mm]V\subset\IR^k[/mm] , [mm]1 \le k < n[/mm], und eine injektive Immersion
> [mm]\phi \in C^1(V;\IR^n)[/mm] existieren, so dass [mm]\phi(V)\subset M[/mm]
> und [mm]f=0[/mm] auf [mm]M\backslash\phi(V),[/mm] dann nennt man f über M
> [mm]S^k-integrierbar[/mm] wenn das Integral [mm]\integral_{M}^{}{f dS^k}=\integral_{V}^{}{f \circ \phi (det \nabla \phi^T \nabla \phi)dL^k}[/mm]
> existiert. Der Flächeninhalt von M ist
> [mm]S^k(M)=\integral_{M}^{}{1 dS^k}=\integral_{V}^{}{ (det \nabla \phi^T \nabla \phi)dL^k}[/mm]
>
>
>
> Ich verstehe an dieser Definition nur Bahnhof...
>
> Also die steht im Kapitel "Integration über
> Mannigfaltigkeiten".
>
> Ist das die Definition eines Integrals über eine
> Mannigfaltigkeit?
In diesem Fall: Ja.
>
> Wenn ja, wo ist denn in dieser Defintion überhaupt eine
> Mannigfaltigkeit?
M.
>
> Wir haben in der Vorlersung kurz vor dieser Defintion nur
> folgendes gesagt:
>
>
>
> Sei [mm]k\in\IN[/mm] , [mm]k
> [mm]A\subset\IR^k[/mm] offen. Dann ist [mm]TA\subset\IR^n[/mm] eine
> k-dimesionale Mannigfaltigkeit.
>
>
>
> Dabei soll T wohl eine Matrix sein.
>
> Das versteh ich auch nicht so ganz.
Ich auch nicht. Das T müsste mMn mindestens injektiv sein, damit das irgendwie Sinn ergibt.
>
> Ich hab vor einer Weile mir hier mal
> Untermannigfaltigkeiten erklären lassen, aber mit Matrizen
> hatte das irgendwie nichts zu tun.
Ja das mit der Matrix oben ist wohl auch nur ein Spezialfall.
>
> Und ich versteh da auch die Anwendung einer Matrix auf eine
> Teilmenge irgendwie nicht.
>
[mm]TA := \{Tx:x\in A\}[/mm].
>
>
> Ich weiß [in der Defintion] auch nicht, was eigentlich
> eine Immersion ist.
Eine diffbare Abbildung deren Jacobi-Matrix injektiv ist.
>
> Auch die Differentiale [mm]dL^k[/mm] und [mm]dS^k[/mm] machen mir Probleme,
> ich weiß nicht was das heißen soll, in den Integralen ist
> doch gar keine solche Variable, nach der ich integrieren
> könnte.
>
> [Das machen Differential doch, oder, sie sagen mir doch,
> nach welcher Variablen ich integrieren soll, oder?]
Ja das können sie machen - tun sie aber nicht immer. Das hier ist so ein Fall. Hierbei stehen die Differentiale für gar nichts - sind bloß eine Notationssache.
LG, Alex
|
|
|
|
