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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mo 25.08.2014 | | Autor: | TorbM |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{} \bruch{x^3 + x^2 + 6x + 4}{x^4 + 8x^2 + 16} [/mm] |
Der Nenner hat keine reellen Nullstellen. Es scheitert jetzt schonmal direkt daran die Nullstellen des Nenners zu berechnen.
[mm] x^4 [/mm] + [mm] 8x^2 [/mm] + 16
[mm] z^2 [/mm] + 8z + 16
z1/2 = -4 [mm] \pm \wurzel{0} [/mm]
z1/2 = [mm] \wurzel{-4}
[/mm]
z1/2 = [mm] (2j)^2
[/mm]
z1/2 = [mm] \pm [/mm] 4 ?
Laut Rechner hat die Funktion 4 komplexe Nullstellen, keine Ahnung wie man auf diese kommt. Muss ich die überhaupt berechnen um das Integral zu lösen ?
Ich glaube der Ansatz ist
[mm] \integral_{}^{} \bruch{x^3 + x^2 + 6x + 4}{x^4 + 8x^2 + 16} [/mm] = [mm] \integral_{}^{} \bruch{x^3 + x^2 + 6x + 4}{(x^2 + 4)^2}
[/mm]
Naja das war´s auch schon habe keine Ahnung wie ich Integrale berechne wenn der Nenner keine reelle Nullstelle hat.
Wenn ich
[mm] \integral_{}^{} \bruch{x^3 + x^2 + 6x + 4}{x^4 + 8x^2 + 16} [/mm] = [mm] \integral_{}^{} \bruch{x^3 + x^2 + 6x + 4}{(x^2 + 4)^2} [/mm] = [mm] \integral_{}^{} \bruch{Ax + B}{(x^2 + 4)^2} [/mm]
naja müsste ich vorher wissen wieviele Nullstellen die Funktion hat.
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Hallo,
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{x^3 + x^2 + 6x + 4}{x^4 + 8x^2 + 16}[/mm]
>
> Der Nenner hat keine reellen Nullstellen. Es scheitert
> jetzt schonmal direkt daran die Nullstellen des Nenners zu
> berechnen.
Das braucht man ja auch nicht. Es genügt eine Zerlegung in Linear- und quadratische Faktoren. Letzteres gelingt hier mühelos, wie du ja selbst erkannt und angewendet hast.
>
> [mm]x^4[/mm] + [mm]8x^2[/mm] + 16
>
> [mm]z^2[/mm] + 8z + 16
>
> z1/2 = -4 [mm]\pm \wurzel{0}[/mm]
> z1/2 = [mm]\wurzel{-4}[/mm]
> z1/2 = [mm](2j)^2[/mm]
> z1/2 = [mm]\pm[/mm] 4 ?
>
> Laut Rechner hat die Funktion 4 komplexe Nullstellen, keine
> Ahnung wie man auf diese kommt. Muss ich die überhaupt
> berechnen um das Integral zu lösen ?
>
> Ich glaube der Ansatz ist
>
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{x^3 + x^2 + 6x + 4}{x^4 + 8x^2 + 16}[/mm]
> = [mm]\integral_{}^{} \bruch{x^3 + x^2 + 6x + 4}{(x^2 + 4)^2}[/mm]
>
> Naja das war´s auch schon habe keine Ahnung wie ich
> Integrale berechne wenn der Nenner keine reelle Nullstelle
> hat.
Ein wenig tricky ist das hier schon. Ich hätte folgendes anzubieten:
[mm] \frac{x^3+x^2+6x+4}{(x^2+4)^2}=\frac{x^3+4x}{(x^2+4)^2}+ \frac{2x}{(x^2+4)^2}+ \frac{1}{x^2+4}
[/mm]
Dabei werden die Summanden 1) und 3) in Sachen Integration elementar, der mittlere erfordert noch eine denkbra einfache Substitution.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 25.08.2014 | | Autor: | TorbM |
Wie hast du es so zerlegt ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Wie hast du es so zerlegt ?
Wunschdenken: zuerst im Zähler [mm] x^2+4 [/mm] abgespalten, das ergibt nach Kürzen den letzten Summanden. Dann den Nenner ausmultipliziert und abgeleitet. Im Zähler wiederum ein Vielfaches der Ableitung (x 1/4) abgespalten ergibt den ersten Summanden. Der mittlere verbleibt dann und die Substitution erkennt man leicht.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Mo 25.08.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Diophant
Kann es sein, dass du bei deiner Zerlegung das x² vergessen hast?
Korrekt wäre meiner Meinung nach:
$ [mm] \frac{x^3+x^2+6x+4}{(x^2+4)^2}=\frac{x^3+4x}{(x^2+4)^2}+ \frac{2x}{(x^2+4)^2}+ \frac{1}{x^2+4}+\red{\frac{x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}}} [/mm] $
Aber auch das ist kein großes Hindernis bei der Integration.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:53 Mo 25.08.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marius,
> Hallo Diophant
>
> Kann es sein, dass du bei deiner Zerlegung das x²
> vergessen hast?
>
> Korrekt wäre meiner Meinung nach:
>
> [mm]\frac{x^3+x^2+6x+4}{(x^2+4)^2}=\frac{x^3+4x}{(x^2+4)^2}+ \frac{2x}{(x^2+4)^2}+ \frac{1}{x^2+4}+\red{\frac{x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}}}[/mm]
>
> Aber auch das ist kein großes Hindernis bei der
> Integration.
Nein, da ist IMO meine Version richtig. Beginne mal so:
[mm] x^3+x^2+6x+4=x^3+4x+2x+x^2+4
[/mm]
Die beiden letzten Summanden ergeben ja in meiner Version den dritten Bruch, und da kürzt sich dann [mm] x^2+4 [/mm] ja einmal heraus.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Mo 25.08.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Diophant
Sorry, ich hatte nicht gesehen, dass du den letzten Bruch gekürzt hattest, auch dort hatte ich im Zähler das ² vermutet.
Wer lesen kann, ist also meist im Vorteil ![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]")
Marius
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