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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Fr 07.01.2011 | | Autor: | decafbad |
| Aufgabe | | Gegeben ist der Bereich: $B: [mm] \{ 0 \leq x^2 + y^2 \leq 1, x \leq y \}$. [/mm] Berechne das Integral [mm] $\int_{B}{x^2+y^2 \; dx dy}$ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der Bereich beschreibt einen Halbkreis, welcher quasi in der y-Achse durchgeschnitten ist. Um das Integral zu berechnen, bediene ich mich der Polarkoordinatentransformation.
Also gilt:
$x = r cos [mm] \phi$
[/mm]
$y = r sin [mm] \phi$
[/mm]
Wir haben gelernt, immer die Funktionaldeterminante einzufügen, in diesem Fall also $r$.
Mein Ansatz daher:
[mm] $\int_{B}{x^2+y^2 \; dx dy} [/mm] = [mm] \int_{0}^{1} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(r^2 cos^2 \phi + r^2 sin^2 \phi)\cdot r \; d\phi dr}$
[/mm]
$= [mm] \int_{0}^{1} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{r^3 \; d\phi dr}$
[/mm]
$= [mm] \int_{0}^{1}{\frac{r^3 \pi}{2} + \frac{r^3 \pi}{2} \; dr}$
[/mm]
$= [mm] \int_{0}^{1}{r^3 \pi \; dr} [/mm] $
$= [mm] \frac{r^4 \pi}{4} \Big\vert_{0}^{1} [/mm] $
$= [mm] \frac{\pi}{4}$
[/mm]
Nun dachte ich mir, wir haben ja einen Halbkreis gegeben, also hätte ich mir als Ergebnis [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] erwartet.
Wo ist also mein Rechen-/Denkfehler?
Bin dankbar für jegliche Antwort.
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Hallo decafbad,
> Gegeben ist der Bereich: [mm]B: \{ 0 \leq x^2 + y^2 \leq 1, x \leq y \}[/mm].
> Berechne das Integral [mm]\int_{B}{x^2+y^2 \; dx dy}[/mm]
> Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
>
> Der Bereich beschreibt einen Halbkreis, welcher quasi in
> der y-Achse durchgeschnitten ist. Um das Integral zu
> berechnen, bediene ich mich der
> Polarkoordinatentransformation.
>
> Also gilt:
> [mm]x = r cos \phi[/mm]
> [mm]y = r sin \phi[/mm]
>
> Wir haben gelernt, immer die Funktionaldeterminante
> einzufügen, in diesem Fall also [mm]r[/mm].
>
> Mein Ansatz daher:
> [mm]\int_{B}{x^2+y^2 \; dx dy} = \int_{0}^{1} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(r^2 cos^2 \phi + r^2 sin^2 \phi)\cdot r \; d\phi dr}[/mm]
>
> [mm]= \int_{0}^{1} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{r^3 \; d\phi dr}[/mm]
>
> [mm]= \int_{0}^{1}{\frac{r^3 \pi}{2} + \frac{r^3 \pi}{2} \; dr}[/mm]
>
> [mm]= \int_{0}^{1}{r^3 \pi \; dr}[/mm]
> [mm]= \frac{r^4 \pi}{4} \Big\vert_{0}^{1}[/mm]
>
> [mm]= \frac{\pi}{4}[/mm]
>
> Nun dachte ich mir, wir haben ja einen Halbkreis gegeben,
> also hätte ich mir als Ergebnis [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] erwartet.
>
> Wo ist also mein Rechen-/Denkfehler?
Du hast keinen Rechen- oder Denkfehler gemacht.
Vielmehr dient die obige Formel zur Berechnung
des polaren Trägheitsmomentes.
>
> Bin dankbar für jegliche Antwort.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Fr 07.01.2011 | | Autor: | decafbad |
Alles klar, heißt das also dass niemals der Flächeninhalt gefragt war? Wäre der Flächeninhalt dann [mm] $\int_{B}{1 \; dx dy}$?
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Sa 08.01.2011 | | Autor: | MathePower |
Hallo defcabad,
> Alles klar, heißt das also dass niemals der Flächeninhalt
> gefragt war? Wäre der Flächeninhalt dann [mm]\int_{B}{1 \; dx dy}[/mm]?
Ja.
Gruss
MathePower
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