Integration Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Di 25.11.2008 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | Die Potenzreihe [mm] f(z):=\sum_{n=0}^{\infty}{a_nz^n} [/mm] konvergiere für alle [mm] z\in\IC [/mm] mit |z|<1. Zeigen Sie:
(a) Für [mm] r\in[0,1) [/mm] gilt
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{|f(re^{it})|^2 dt} [/mm] = [mm] 2\pi\sum_{n=0}^{\infty}{|a_n|^2r^{2n}}
[/mm]
(b) Ist f auf [mm] \{z\in\IC , |z|<1\} [/mm] beschränkt, so ergibt sich
[mm] \sum_{n=0}^{\infty}{|a_n|^2} [/mm] < [mm] \infty [/mm] und [mm] \wurzel{1-r}\sum_{n=0}^{\infty}{|a_n|r^n} \to^{r \to 1-} [/mm] 0. |
Halllo
Meine Fragen: Funktioniert (a) "einfach" über Integration (ich komme da an eine Stelle, wo ich partielle Integration anweden muss...)
Zu (b): Verstehe ich überhaupt nicht... Ich weiß auch nicht, was mir die Voraussetzung sagen will...
Danke im Voraus, cauchy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Di 25.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die Potenzreihe [mm]f(z):=\sum_{n=0}^{\infty}{a_nz^n}[/mm]
> konvergiere für alle [mm]z\in\IC[/mm] mit |z|<1. Zeigen Sie:
>
> (a) Für [mm]r\in[0,1)[/mm] gilt
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{|f(re^{it})|^2 dt}=2\pi\sum_{n=0}^{\infty}{|a_n|^2r^{2n}}[/mm]
>
> (b) Ist f auf [mm]\{z\in\IC , |z|<1\}[/mm] beschränkt, so ergibt sich
>
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}{|a_n|^2}[/mm] < [mm]\infty[/mm] und [mm]\wurzel{1-r}\sum_{n=0}^{\infty}{|a_n|r^n} \to^{r \to 1-} 0[/mm] .
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> Halllo
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> Meine Fragen: Funktioniert (a) "einfach" über Integration
> (ich komme da an eine Stelle, wo ich partielle Integration
> anweden muss...)
Schwer zu sagen, da ich nicht genau weiss, was du gerechnet hast. Wenn du fragst, ob du eine Potenzreihe gliedweise integrieren darfst, so lautet die Antwort: ja.
Ich hätte das mit dem Cauchy-Produkt für die Reihen von $f(z)$ und [mm] $\overline{f(z)}$ [/mm] gemacht (da eine Potenzreihe absolut konvergiert, darfst du das Cauchy-Produkt verwenden).
> Zu (b): Verstehe ich überhaupt nicht... Ich weiß auch
> nicht, was mir die Voraussetzung sagen will...
Was folgt denn aus dieser Voraussetzung für das Integral auf der linken Seite von Teil (a)?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 So 07.12.2008 | | Autor: | cauchy |
Danke!
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