Integration Rechteckfunktion < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Fr 25.07.2014 | | Autor: | norritt |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Mittelwert des Signals [mm] x(t)=rect(\frac{t}{2T}) \cdot \frac{t}{2T} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe diese Aufgabe durchgerechnet erhalte aber ein falsches Ergebnis und wüßte gern wo der Fehler ist. Ich vermute meine Stammfunktion für [mm] rect(\frac{t}{2T}) [/mm] ist nicht korrekt.
Das korrekte Ergebnis sollte 1/2 lauten. Außerdem wüßte ich gerne ob es evtl. eine geschickte, algebraische Abkürzung für die Integration von Produkten mit der Rechteckfunktion gibt, ohne die partielle Integration verwenden zu müssen, da das Integral der Rechteckfunktion ja doch relativ simpel und sogar an einer Skizze schnell ablesbar ist.
Formel für Mittelwert:
[mm] \overline{x}(t)=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}{x(t) dt}
[/mm]
Partielle Integration:
[mm] \int{f'g}=fg-\int{fg'}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{1}{2T}\int{rect(\frac{t}{2T})\frac{t}{2T} dt}
[/mm]
[mm] f'(t):=rect(\frac{t}{2T}) \Rightarrow f(t)=\frac{t}{2}
[/mm]
[mm] g(t):=\frac{t}{2T} \Rightarrow g'(t)=\frac{1}{2T}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{1}{2T}\left(\left| \frac{t^2}{4T} \right|_{0}^{2T}-\int_{0}^{2T}{\frac{t}{2}\frac{1}{2T} dt}\right)
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2T}\left(\left| \frac{t^2}{4T} \right|_{0}^{2T}-\left| \frac{1}{4T}\frac{1}{2}t^2 \right|_{0}^{2T}\right)
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2T}\left(\frac{4T^2}{4T}-\frac{4T^2}{8T}\right)
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2T}\left(T-\frac{T}{2}\right)
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}-\frac{1}{4} [/mm]
[mm] =\frac{1}{4}\neq\frac{1}{2}\blitz
[/mm]
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> Berechnen Sie den Mittelwert des Signals
> [mm]x(t)=rect(\frac{t}{2T}) \cdot \frac{t}{2T}[/mm]
> Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe diese Aufgabe durchgerechnet erhalte aber ein
> falsches Ergebnis und wüßte gern wo der Fehler ist. Ich
> vermute meine Stammfunktion für [mm]rect(\frac{t}{2T})[/mm] ist
> nicht korrekt.
>
> Das korrekte Ergebnis sollte 1/2 lauten. Außerdem wüßte
> ich gerne ob es evtl. eine geschickte, algebraische
> Abkürzung für die Integration von Produkten mit der
> Rechteckfunktion gibt, ohne die partielle Integration
> verwenden zu müssen, da das Integral der Rechteckfunktion
> ja doch relativ simpel und sogar an einer Skizze schnell
> ablesbar ist.
>
>
> Formel für Mittelwert:
>
> [mm]\overline{x}(t)=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}{x(t) dt}[/mm]
>
>
> Partielle Integration:
> [mm]\int{f'g}=fg-\int{fg'}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{2T}\int{rect(\frac{t}{2T})\frac{t}{2T} dt}[/mm]
>
> [mm]f'(t):=rect(\frac{t}{2T}) \Rightarrow f(t)=\frac{t}{2}[/mm]
>
> [mm]g(t):=\frac{t}{2T} \Rightarrow g'(t)=\frac{1}{2T}[/mm]
>
>
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{2T}\left(\left| \frac{t^2}{4T} \right|_{0}^{2T}-\int_{0}^{2T}{\frac{t}{2}\frac{1}{2T} dt}\right)[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{2T}\left(\left| \frac{t^2}{4T} \right|_{0}^{2T}-\left| \frac{1}{4T}\frac{1}{2}t^2 \right|_{0}^{2T}\right)[/mm]
>
> [mm]=\frac{1}{2T}\left(\frac{4T^2}{4T}-\frac{4T^2}{8T}\right)[/mm]
> [mm]=\frac{1}{2T}\left(T-\frac{T}{2}\right)[/mm]
> [mm]=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}[/mm]
> [mm]=\frac{1}{4}\neq\frac{1}{2}\blitz[/mm]
hallo,
ist extra gefordert die lösung komplizierter zu machen als nötig?
ansonsten kannst du doch im integral die Rechteckfunktion mit 1 ersetzen und enstprechend die Grenzen dieser Rechteckfunktion als Integralgrenzen setzen...
ps: bei uns war Rect(t/2T) ein zur y-Achse symmetrisches Rechteck. Sprich von -T bis T. dann wäre der Mittelwert jedoch für eine funktion x(t)=a*t = 0, da diese Funktion punktsymmetrisch ist.
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Fr 25.07.2014 | | Autor: | norritt |
> hallo,
> ist extra gefordert die lösung komplizierter zu machen
> als nötig?
Nö, aber was besseres ist mir da leider nicht eingefallen.
> ansonsten kannst du doch im integral die Rechteckfunktion
> mit 1 ersetzen und enstprechend die Grenzen dieser
> Rechteckfunktion als Integralgrenzen setzen...
Ich vermute auch, daß es da einen Trick gibt, aber meine Suche diesbezüglich war bisher leider nicht von Erfolg gekrönt. Hast Du eine Quelle oder eine Begründung warum man rect(...) im Integral einfach durch 1 ersetzen kann?
> ps: bei uns war Rect(t/2T) ein zur y-Achse symmetrisches
> Rechteck. Sprich von -T bis T. dann wäre der Mittelwert
> jedoch für eine funktion x(t)=a*t = 0, da diese Funktion
> punktsymmetrisch ist.
rect(t/2T) ist nicht y-achsensymmetrisch, da gilt: rect(t/2T) = 0 für t < 0. rect(t/2T) ist ein Rechteck der Höhe 1 und Breite 2, rechtsseitig der y-Achse. Durch Multiplikation mit t/2T erhält man eine Diagonale vom Ursprung zum Punkt (2T, 1). Die Fläche unter dem Graphen hat somit die Größe 2T*1*1/2, der Mittelwert ist 1/2.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:28 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Norrit,
die Rechteckfunktion dient bei solchen Aufgaben nur dazu, zu verdeutlichen, wo die eigentliche Funktion ein- bzw. ausgeblendet wird. Damit nutzt man sie zur Bestimmung der Integralgrenzen, die hier von 0 bis 2T laufen.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:41 Sa 26.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Berechnen Sie den Mittelwert des Signals
> [mm]x(t)=rect(\frac{t}{2T}) \cdot \frac{t}{2T}[/mm]
> Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe diese Aufgabe durchgerechnet erhalte aber ein
> falsches Ergebnis und wüßte gern wo der Fehler ist. Ich
> vermute meine Stammfunktion für [mm]rect(\frac{t}{2T})[/mm] ist
> nicht korrekt.
>
> Das korrekte Ergebnis sollte 1/2 lauten. Außerdem wüßte
> ich gerne ob es evtl. eine geschickte, algebraische
> Abkürzung für die Integration von Produkten mit der
> Rechteckfunktion gibt, ohne die partielle Integration
> verwenden zu müssen, da das Integral der Rechteckfunktion
> ja doch relativ simpel und sogar an einer Skizze schnell
> ablesbar ist.
>
>
> Formel für Mittelwert:
>
> [mm]\overline{x}(t)=\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}{x(t) dt}[/mm]
>
>
> Partielle Integration:
> [mm]\int{f'g}=fg-\int{fg'}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{2T}\int{rect(\frac{t}{2T})\frac{t}{2T} dt}[/mm]
>
> [mm]f'(t):=rect(\frac{t}{2T}) \Rightarrow f(t)=\frac{t}{2}[/mm]
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> [mm]g(t):=\frac{t}{2T} \Rightarrow g'(t)=\frac{1}{2T}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow \frac{1}{2T}\left(\left| \frac{t^2}{4T} \right|_{0}^{2T}-\int_{0}^{2T}{\frac{t}{2}\frac{1}{2T} dt}\right)[/mm]
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> [mm]=\frac{1}{2T}\left(\left| \frac{t^2}{4T} \right|_{0}^{2T}-\left| \frac{1}{4T}\frac{1}{2}t^2 \right|_{0}^{2T}\right)[/mm]
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> [mm]=\frac{1}{2T}\left(\frac{4T^2}{4T}-\frac{4T^2}{8T}\right)[/mm]
> [mm]=\frac{1}{2T}\left(T-\frac{T}{2}\right)[/mm]
> [mm]=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}[/mm]
> [mm]=\frac{1}{4}\neq\frac{1}{2}\blitz[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also die Funktion rect(t) wird üblicherweise als eine gerade, also zur Ordinatenachse symmetrische Funktion definiert, welche ein Rechteck der Höhe und Breite 1 beschreibt.
Nach dieser Definition ist dein rect(t/(2T)) 1 im Bereich von -T bis +T und sonst Null.
Wenn du nur den Bereich von 0 bis 2T betrachten sollst, wie ich den von dir gewählten Integrationsgrenzen entnehme, und ich eine 2T-periodische Fortsetzung unterstelle, dann ist das Ergebnis 1/8. Du hast im Bereich von 0 bis T eine Dreiecksflanke mit dem Spitzenwert 1/2 und im restlichen Bereich Null.
Wie schon gesagt wurde, solltest du die rect() Funktion nicht direkt bei der Integration verwenden sondern nur um festzustellen, in welchem Bereich die nachstehende Funktion eingeblendet werden soll.
Wenn ihr die Rechteckfunktion anders definiert habt, zB mit der Heavisidefunktion als
$rect(t)=\Theta{(t){-\Theta{(t-1)}$,
also die um 1/2 nach rechts verschobene Funktion,
dann wäre das Signal im Bereich $[0;2\pi[$ simpel die Strecke von $(0/0)$ bis $(2T/1)$ und der Mittelwert ist 1/2.
Integrieren musst du in jedem Fall nur die lineare Funktion.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Sa 26.07.2014 | | Autor: | norritt |
Hallo,
schonmal vielen dank an euch für die Infos. Laut meiner Unterlagen ist die Rechteckfunktion wie folgt definiert:
[mm] rect(\frac{t}{T})=\begin{cases} 1, & 0 \leq t \ \leq T \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
Wenn ich tatsächlich wie von euch Vorgeschlagen die Rechteckfunktion nur nutze, um den zu integrierenden Bereich zu bestimmen, bekomme ich bei bestimmten Aufgaben wieder Probleme, bei der Berechnung Autokorrelation bzw. Kreuzkorrelation habe ich teilweise eine ähnliche Situation wie oben, aber gar keine lineare Funktion sondern nur Rechteckfunktionen die ich zu integrieren habe, z.B.:
[mm] \varphi_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t) \cdot y(t-\tau) d\tau
[/mm]
[mm] x(t):=rect\left(\frac{t}{T}\right)
[/mm]
[mm] y(t):=rect\left(\frac{t}{2T}\right)
[/mm]
Hier fehlt mir dann eine lineare Funktion um das Ganze zu integrieren. Natürlich kann ich den Funktionsgraphen aufzeichnen und das Ergebnis anhand der Skizze ablesen, aber das muß man doch auch irgendwie algebraisch lösen können, oder? Klar auch das geht hier noch mit "scharf hingucken" x(t) ist halt ein Rechteck der Breite t und Höhe 1, da die Stammfunktion die Fläche angibt muss diese also "t" sein, y(t) ist ein Rechteck der Breite 2t, mit Höhe 1 => Stammfunktion muss 2t sein.
Diese Beispiele sind ja auch noch recht einfach, aber theoretisch könnte man ja auch mal sowas haben:
[mm] z(t):=rect\left( \frac{(t - 2)*e^t}{(2T+2)^2}\right)
[/mm]
oder Ähnliches, was zeichnerisch nur recht ungenau zu lösen sein dürfte. Ohne mich an diesem letzten etwas an den Haaren herbeigezogenen Beispiel aufzuhängen ist mein Problem eigentlich - was mache ich in Integralen mit der Rechteckfunktion. Man findet dazu erstaunlich wenig brauchbares im Netz. In der Stammfunktionstabelle auf Wikipedia tauchen Rechteckfunktion oder Einheitssprungfunktion nicht auf), Videos auf Youtube zu dem Thema hab ich auch nicht gefunden und auch sonst hat google nicht viel brauchbares ausgepuckt. Ich wäre daher für eine allgemeine Erklärung / Kochrezept zum Vorgehen in solchen Fällen sehr dankbar. Der Tipp nur die lineare Funktion zu nutzen, ist ja leider nicht in allen Fällen (siehe Korrelation oben) anwendbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Sa 26.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
man muss wohl immer die Integrale unterteilen in die Teile mit rect(f(t))=0 und recht(f(t)=1 und über die Teile einzeln integrieren, wie bei jeder stückweise definierten fkt.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 So 27.07.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo norrit,
Dein Einwand, dass das Argument der Rect-Funktion auch was weitaus komplexeres sein kann, ist zwar theoretisch richtig, in meiner nun fast 30-jährigen Praxis als E-Techniker ist mir allerdings so etwas noch nie untergekommen. Deine Definition ist nach vollziehbar,- zu meinen Zeiten wäre dies noch eine um t = 0 symmetrische Fnktion gewesen, aber so ändern sich die Zeiten - , und ihr ganzer Nutzen ist es, klarzumachen, welchen Ausschnitt aus einer ansonsten über alle Zeiten definierten Funktion man betrachten soll. Daher kam ja auch weiter oben mein Hinweis auf die Integrationsgrenzen.
Viele Grüße,
Infinit
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