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Forum "Integralrechnung" - Integration Substitution
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Integration Substitution: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 So 19.01.2014
Autor: bavarian16

Aufgabe
Lösen Sie folgendes Integral mit Substitution und partieller Integration:

[mm] \integral_{-N}^{N} \sqrt{1-x^2}\, dx [/mm]

Tipp: x= sin(u)    [mm] sin^2(u)+cos^2(u)=1 [/mm]

Also ich weiß wie man es rechnet und auch was das Ergebnis ist. Nur einen Schritt versteh ich nicht ganz.

Substitution:

[mm] x= sin(u) [/mm]

[mm] \bruch{dx}{dz}=cos x [/mm]

Und genau hier ist mein Problem. Bei einer "normalen" Substitution leitet man doch  dz nach dx ab. Also steht dz im Zähler und dx im Nenner. Aber hier sit es genau anderst herum. Warum?

        
Bezug
Integration Substitution: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:52 So 19.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Lösen Sie folgendes Integral mit Substitution und
> partieller Integration:
>  
> [mm]\integral_{-N}^{N} \sqrt{1-x^2}\, dx[/mm]
>  
> Tipp: x= sin(u)    [mm]sin^2(u)+cos^2(u)=1[/mm]
>  Also ich weiß wie man es rechnet und auch was das
> Ergebnis ist. Nur einen Schritt versteh ich nicht ganz.
>  
> Substitution:
>  
> [mm]x= sin(u)[/mm]
>  
> [mm]\bruch{dx}{dz}=cos x[/mm]

Das ist falsch!

Hier gilt:

      [mm] x=\sin(u) [/mm]

Im Grunde steht dort:

      [mm] x(u)=\sin(u) [/mm]

Weiterhin gilt:

      [mm] x'=x'(u)=\frac{dx(u)}{du}=\frac{dx}{du}=\frac{d}{du}x [/mm]

Mit anderen Worten: Du leitest die Funktion $x$ nach $u$ ab.

Übrigens: Für [mm] x=\sin(u) [/mm] gilt [mm] \bruch{dx}{dz}=0 [/mm] - Warum?

> Und genau hier ist mein Problem. Bei einer "normalen"
> Substitution leitet man doch  dz nach dx ab. Also steht dz
> im Zähler und dx im Nenner. Aber hier sit es genau anderst
> herum. Warum?

Was heißt normal?

Du kannst auch deine Substitution so ansetzen:

      [mm] z:=\sin(x) [/mm]

      [mm] \Rightarrow z'=\frac{dz}{dx}=\cos(x) [/mm]

      [mm] \Rightarrow dx=\frac{dz}{\cos(x)} [/mm]

Klarer?


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Integration Substitution: zu dieser Aufgabe?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 So 19.01.2014
Autor: Loddar

Hallo DieAcht!


> Du kannst auch deine Substitution so ansetzen:
>
> [mm]z:=\sin(x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow z'=\frac{dz}{dx}=\cos(x)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow dx=\frac{dz}{\cos(x)}[/mm]

Für diese konkrete Aufgabe des Fragestellers hilft diese Substitution jedoch nicht weiter. Oder übersehe ich etwas?


Gruß
Loddar

Bezug
                        
Bezug
Integration Substitution: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:33 So 19.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Hallo DieAcht!
>  
>
> > Du kannst auch deine Substitution so ansetzen:
>  >

> > [mm]z:=\sin(x)[/mm]
>  >

> > [mm]\Rightarrow z'=\frac{dz}{dx}=\cos(x)[/mm]
>  >

> > [mm]\Rightarrow dx=\frac{dz}{\cos(x)}[/mm]
>  
> Für diese konkrete Aufgabe des Fragestellers hilft diese
> Substitution jedoch nicht weiter. Oder übersehe ich
> etwas?

Nein, du übersiehst nichts.
Für die Umsetzung müsste man natürlich das Integral vorher umschreiben.

      [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=\integral_{a}^{b}{f(z) dz} [/mm]

Mit dem Beispiel wollte ich zeigen, dass es fast immer egal ist wie er seine Substitution bennent.
Man muss nur aufpassen, dass man bei den Variablen nichts doppelt nimmt.
Da er wohl "gerne" seine Substituion $z$ nennt wollte ich ihm die Konsequenzen zeigen :-)

>
> Gruß
>  Loddar


Gruß
DieAcht

Bezug
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