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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Di 19.02.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Integrieren Sie:
[mm] \integral_{3}^{4}{\bruch{e^{3x^2+1}}{6x} dx}
[/mm]
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Moin,
im Moment schwimme ich noch etwas bei Anwendung der Substitutionsregel.
[mm] \integral_{3}^{4}{ \bruch{e^{3x^2+1}}{6x} dx}
[/mm]
hier substituiere ich
1) t = 6x => x = [mm] \bruch{1}{6}t
[/mm]
2) [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = 6 => dx = [mm] \bruch{1}{6} [/mm] dt
3) [mm] \integral_{3}^{4}{\bruch{e^{\bruch{1}{2}t^2+1}}{t}*\bruch{1}{6} dx}
[/mm]
Ist das so korrekt?
Hat das überhaupt etwas gebracht.
Wovon hängt ab, ob sich die Integrationsgrenzen ändern?
Ich kann ja den Term nicht in g(x) * g'(x) zerlegen, was ich sehe ist, dass
allenfalls [mm] \bruch{g(x)}{g'(x)} [/mm] gilt.
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Di 19.02.2008 | | Autor: | chrisno |
> Integrieren Sie:
>
> [mm]\integral_{3}^{4}{\bruch{e^{3x^2+1}}{6x} dx}[/mm]
>
>
> hier substituiere ich
>
> 1) t = 6x => x = [mm]\bruch{1}{6}t[/mm]
>
> 2) [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm] = 6 => dx = [mm]\bruch{1}{6}[/mm] dt
>
> 3)
> [mm]\integral_{3}^{4}{\bruch{e^{\bruch{1}{2}t^2+1}}{t}*\bruch{1}{6} dx}[/mm]
>
>
> Ist das so korrekt?
ja, bis auf die Grenzen
>
> Hat das überhaupt etwas gebracht.
Nein.
>
> Wovon hängt ab, ob sich die Integrationsgrenzen ändern?
Die ändern sich immer. Nur kannst Du Dir ersparen darüber nachzudenken, wenn Du am Ende wieder zurücksubstituierst.
Mit der Suche nach einer Funktion und ihrer Ableitung bist Du auf dem richtigen Weg. Danach soll das Integral gerne einfacher sein, so dass es lösbarer wird.
Also: da steht einmal [mm] $3x^2+1$ [/mm] und woanders $6x$. Was haben die den miteinander zu tun? Der Trick wäre, das nach der Substitution die 6x einfach weg wären und Du nur noch das Integral über [mm] $e^t$ [/mm] lösen müsstest. Hier aber bekommst Du noch einmal 6x in den Nenner, der Weg scheint auch nicht so gut zu sein.
Neuer Anlauf: $t = [mm] 3x^2$. [/mm] Dann erhält man wieder [mm] $36x^2$ [/mm] im Nenner und nun sind das $12t$. Es bleibt noch die Frage, ob nun [mm] $e^t/t$ [/mm] einfacher zu intgrieren ist, als die Funktion zu Beginn. (Das +1 im Exponenten kann man ja als Faktor rausziehen.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Di 19.02.2008 | | Autor: | hase-hh |
noch ein fehler: natürlich meinte ich [mm] 3x^2 [/mm] +1 und nicht [mm] x^2 [/mm] +1; Entschuldigung für die Tippfehler!! habe ich korrigiert 
Moin!
tja, und nun?
Ich habe mir auch schon Gedanken über die ideale Funktionszerlegung gemacht...
und ein [mm] e^t [/mm] wäre ja nun eine sehr gutes Zwischenergebnis.
Ich habe mir auch schon 10 Seiten über Integration durch Substitution ausgedruckt. Nur bisher hat es noch nicht klick gemacht.
Ich suche ein generelles Verfahren, nicht einen "Glückstreffer".
Irgendwie soll ja die Substitution in Zusammenhang mit der Kettenregel stehen.
1. Heisst das, dass ich die Funktion hierbei immer als f * f ' zerlegen muss?
Zur Aufgabe
a) Wie mir eine Schülerin mitteilte, haben sie immer den Nenner substituiert. Das habe ich (s.o.) probiert...
b) Wenn ich auf die Kettenregel referiere, würde ich ja eigentlich
[mm] 3x^2+1 [/mm] substituieren (aber nicht nur [mm] 3x^2)... [/mm]
t = [mm] 3x^2 [/mm] + 1 => x= [mm] \wurzel{ \bruch{t -1}{3}}
[/mm]
[mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = 6x
[mm] \integral_{3}^{4}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{3}^{4}{ \bruch{e^t}{6x}* \bruch{1}{6x} dt} [/mm]
besser wäre natürlich, wenn ich das ganze so schreiben könnte:
[mm] \integral_{3}^{4}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{3}^{4}{ \bruch{e^t}{6x}*6x dt} [/mm]
Keine Idee!
Kann mir jemand weiterhelfen?
Gruß
Wolfgang
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> und ein [mm]e^t[/mm] wäre ja nun eine sehr gutes Zwischenergebnis.
Hallo,
ja, das wäre es.
>
> Ich suche ein generelles Verfahren, nicht einen
> "Glückstreffer".
Dazu habe ich unten im anderen Post ein bißchen was geschrieben.
Ein Kochrezept gibt es nicht.
Wohl aber gibt es ein paar Standardsubstitutionen, die man durch stetes Training verinnerlicht und auch in manchen Büchern nachlesen kann.
Prinzipiell versucht man, durch geschicktes Ersetzen von Ausdrücken in verketteten Funktionen das Integral auf ein einfacheres, im Idealfall lösbares, Integral zurückzuführen.
Den Ablauf habe ich Dir im anderen Post langsam vorgemacht, in der Hoffnung, daß Du zum Nachahmungstäter werden kannst.
> a) Wie mir eine Schülerin mitteilte, haben sie immer den
> Nenner substituiert. Das habe ich (s.o.) probiert...
Es kommt auf die Funktion an.
Die Schülerin hatte sicher [mm] \integral{\bruch{1}{(7x+3)^5} dx} [/mm] zu berechnen.
>
> b) Wenn ich auf die Kettenregel referiere, würde ich ja
> eigentlich
>
> [mm]x^2+1[/mm] substituieren (aber nicht nur [mm]x^2)...[/mm]
Dein Integral war
$ [mm] \integral_{3}^{4}{\bruch{e^{3x^2+1}}{6x} dx} [/mm] $
[mm] x^2+1 [/mm] würde man sicher nicht substituieren(, obgleich es natürlich nicht unmöglich ist).
Das Naheliegende wäre, [mm] 3x^2 [/mm] oder (ich täte das) [mm] 3x^2+1 [/mm] zu substituieren.
Versuch das doch mal nach meiner Anleitung zu machen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:27 Mi 20.02.2008 | | Autor: | hase-hh |
*** ich meinte hier dt und nicht du; habe das korrigiert
> Mit der Suche nach einer Funktion und ihrer Ableitung bist
> Du auf dem richtigen Weg. Danach soll das Integral gerne
> einfacher sein, so dass es lösbarer wird.
>
> Also: da steht einmal [mm]3x^2+1[/mm] und woanders [mm]6x[/mm]. Was haben die
> den miteinander zu tun? Der Trick wäre, das nach der
> Substitution die 6x einfach weg wären und Du nur noch das
> Integral über [mm]e^t[/mm] lösen müsstest. Hier aber bekommst Du
> noch einmal 6x in den Nenner, der Weg scheint auch nicht so
> gut zu sein.
> Neuer Anlauf: [mm]t = 3x^2[/mm]. Dann erhält man wieder [mm]36x^2[/mm] im
> Nenner und nun sind das [mm]12t[/mm].
das habe ich nicht verstanden.
ich bilde:
t = [mm] 3x^2 [/mm] g(t) = t + 1 g ' (t) = [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = 6x
=> dx = [mm] \bruch{1}{6x} [/mm] dt
[mm] \integral_{3}^{4}{ \bruch{e^{3x^2+1}}{6x} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{\bruch{1}{18}}^{\bruch{1}{24}}{ \bruch{e^{t+1}}{6x}*\bruch{1}{6x} dt }
[/mm]
[mm] \integral_{\bruch{1}{18}}^{\bruch{1}{24}}{ \bruch{e^{t+1}}{36x^2} dt }
[/mm]
[mm] \integral_{\bruch{1}{18}}^{\bruch{1}{24}}{ \bruch{e*e^t}{12t} dt }
[/mm]
[mm] \bruch{e}{12}\integral_{\bruch{1}{18}}^{\bruch{1}{24}}{ \bruch{e^t}{t} dt }
[/mm]
Soweit hab ichs jetzt endlich. Wie geht es weiter? Muss ich jetzt partiell integrieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Mi 20.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Mit der Suche nach einer Funktion und ihrer Ableitung bist
> > Du auf dem richtigen Weg. Danach soll das Integral gerne
> > einfacher sein, so dass es lösbarer wird.
> >
> > Also: da steht einmal [mm]3x^2+1[/mm] und woanders [mm]6x[/mm]. Was haben die
> > den miteinander zu tun? Der Trick wäre, das nach der
> > Substitution die 6x einfach weg wären und Du nur noch das
> > Integral über [mm]e^t[/mm] lösen müsstest. Hier aber bekommst Du
> > noch einmal 6x in den Nenner, der Weg scheint auch nicht so
> > gut zu sein.
>
> > Neuer Anlauf: [mm]t = 3x^2[/mm]. Dann erhält man wieder [mm]36x^2[/mm] im
> > Nenner und nun sind das [mm]12t[/mm].
>
> das habe ich nicht verstanden.
>
> ich bilde:
>
> t = [mm]3x^2[/mm] g(t) = t + 1 g ' (t) = [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm] =
> 6x
>
> => dx = [mm]\bruch{1}{6x}[/mm] du
>
>
> [mm]\integral_{3}^{4}{ \bruch{e^{3x^2+1}}{6x} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{\bruch{1}{18}}^{\bruch{1}{24}}{ \bruch{e^{t+1}}{6x}*\bruch{1}{6x} du}[/mm]
>
> [mm]\integral_{\bruch{1}{18}}^{\bruch{1}{24}}{ \bruch{e^{t+1}}{36x^2} du}[/mm]
>
> [mm]\integral_{\bruch{1}{18}}^{\bruch{1}{24}}{ \bruch{e*e^t}{12t} du}[/mm]
>
> [mm]\bruch{e}{12}\integral_{\bruch{1}{18}}^{\bruch{1}{24}}{ \bruch{e^t}{t} du}[/mm]
>
>
>
> Soweit hab ichs jetzt endlich. Wie geht es weiter? Muss ich
> jetzt partiell integrieren?
Nein. Das Integral lässt sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken. Die Stammfunktion hat sogar einen eigenen Namen: ![[]](/images/popup.gif) Exponentialintegral.
Ich sehe auch andere keine Möglichkeit, das bestimmte Integral auszurechnen, außer durch numerische Approximation.
Viele Grüße
Rainer
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> ich bilde:
>
> t = [mm]3x^2[/mm] g(t) = t + 1 g ' (t) = [mm]\bruch{dt}{dx}[/mm] =
> 6x
>
> => dx = [mm]\bruch{1}{6x}[/mm] du
Hallo,
zur Lösbarkeit des Intergrals hat Dir ja Rainer schon etwas gesagt.
Ich möchte auf die Vorgehensweise Deiner Substitution eingehen.
in dem, was Du tust, ist Chaos einprogrammiert: hier schwirren heraum eine neue Variable t, eine neue Funktion g, deren Ableitung, und fürchterlicherweise taucht dann auch noch ein u auf.
In Deinen "substituiertn" Integralen tummeln sich diverse Variablen fröhlich vereint, wo die Grenzen herkommen erschließt sich mir überhaupt nicht, und das größte Miraculum für mich ist, daß Du am Ende tatsächlich ein Ergebnis dastehen hast, welches mit dem richtigen gewisse Ähnlichkeiten hat.
Ich mache Dir jetzt mal an einem sehr ähnlichen Beispiel langsam eine Substitution vor.
Ich möchte [mm] \integral_{2}^{5}{\bruch{e^{5x^2-2}}{10x} dx} [/mm] berechnen.
Mich stört der quadratische Ausdruck im Exponenten, und ich hoffe, daß ich besser weiterrechnen kann, wenn ich ihn "wegsubstituiere". (Ob das klappt, weiß ich erst nach vollendeter Tat. Man muß beim Integrieren mit Fehlversuchen rechnen, für manches bekommt man im Laufe der Zeit einen Blick. (Üben, üben, üben.) Ein allgemeingültiges Kochrezept gibt es nicht.)
So, nun startet meine Substitution.
Ich ersetze [mm] 5x^2 [/mm] durch meine neue Variable t:
[mm] t=5x^2
[/mm]
Ich notiere eine Umkehrung:
[mm] x=\wurzel{\bruch{t}{5}} [/mm]
Ich leite diese Umkehrung nach t ab:
[mm] \bruch{dx}{dt}=\bruch{1}{2*5}\wurzel{\bruch{5}{t}}.
[/mm]
Ich stelle dx frei:
[mm] dx=\bruch{1}{10}\wurzel{\bruch{5}{t}}dt.
[/mm]
Hiermit sind die Vorarbeiten abgeschlossen.
Im Integral passiert nun folgendes:
1. Ich ersetzte überall, wo in dr Funktion x steht, dieses x durch den Ausdruck [mm] \wurzel{\bruch{t}{5}} [/mm] ( =x ).
2. Meine vorherigen "x-Grenzen" muß ich zu "t-Grenzen" machen, indem ich die alten Grenzen in [mm] t=5x^2 [/mm] einsetze, und so meine neuen "t-Grenzen" erhalte.
3. Ich ersetze dx durch [mm] \bruch{1}{10}\wurzel{\bruch{5}{t}}dt [/mm] ( =dx ).
Also ist
[mm] \integral_{2}^{5}{\bruch{e^{5x^2-2}}{10x} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{5*2^2}^{5*5^2}{\bruch{e^{t-2}}{10 \wurzel{\bruch{t}{5}}}*\bruch{1}{10}\wurzel{\bruch{5}{t}}dt}
[/mm]
[Beachte, daß es in diesem Integral nur noch die Variable t gibt.]
[mm] =\bruch{1}{20}\integral_{20}^{125}{\bruch{e^{t-2}}{t}dt}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{20*e^2}\integral_{20}^{125}{\bruch{e^{t}}{t}dt}
[/mm]
Und nun, im Angesichte von [mm] \integral{\bruch{e^{t}}{t}dt} [/mm] erinnere ich mich im Idealfall, daß man das nicht "einfach so" lösen kann -
und wenn ich mich nicht erinnere, würde ich nun einen (zum Scheitern verurteilten) Versuch mit partieller Integration machen.
Gruß v. Angela
>
>
> [mm]\integral_{3}^{4}{ \bruch{e^{3x^2+1}}{6x} dx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{\bruch{1}{18}}^{\bruch{1}{24}}{ \bruch{e^{t+1}}{6x}*\bruch{1}{6x} du}[/mm]
>
> [mm]\integral_{\bruch{1}{18}}^{\bruch{1}{24}}{ \bruch{e^{t+1}}{36x^2} du}[/mm]
>
> [mm]\integral_{\bruch{1}{18}}^{\bruch{1}{24}}{ \bruch{e*e^t}{12t} du}[/mm]
>
> [mm]\bruch{e}{12}\integral_{\bruch{1}{18}}^{\bruch{1}{24}}{ \bruch{e^t}{t} du}[/mm]
>
>
>
> Soweit hab ichs jetzt endlich. Wie geht es weiter? Muss ich
> jetzt partiell integrieren?
>
> > Es bleibt noch die Frage, ob
> > nun [mm]e^t/t[/mm] einfacher zu intgrieren ist, als die Funktion zu
> > Beginn. (Das +1 im Exponenten kann man ja als Faktor
> > rausziehen.)
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Mi 20.02.2008 | | Autor: | hase-hh |
Hallo Angela!
Vielen Dank, das hilft mir weiter!!
Ich bin mal nach Deiner Anleitung vorgegangen:
[mm] \integral_{3}^{4}{ \bruch{e^{3x^2+1}}{6x} dx}
[/mm]
1. t= [mm] 3x^2 [/mm] x = [mm] \wurzel{ \bruch{t}{3}} [/mm]
2. [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}* \bruch{1}{\wurzel{ \bruch{t}{3}}}*\bruch{1}{3}
[/mm]
=> dx = [mm] \bruch{1}{6}*\wurzel{\bruch{3}{t}} [/mm] dt
3. [mm] \integral_{27}^{48}{ \bruch{e^{t+1}}{12t} dt}
[/mm]
[mm] \bruch{e}{12}*\integral_{27}^{48}{ \bruch{e^t}{t} dt}
[/mm]
Partielle Integration bringt hier nichts, und ich müsste dieses Integral dann mit der Exponentialregel weiterrechnen...
Gruß
Wolfgang
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> Vielen Dank, das hilft mir weiter!!
Das freut mich sehr, und das, was Du gerechnet hast, sieht sehr gut aus.
> [mm]\bruch{e}{12}*\integral_{27}^{48}{ \bruch{e^t}{t} dt}[/mm]
>
> Partielle Integration bringt hier nichts, und ich müsste
> dieses Integral dann mit der Exponentialregel
> weiterrechnen...
Nein, Du hast wohl Rainers Post nicht ganz genau gelesen: dieses Integral kannst Du mit den "landläufigen" Methoden nicht weiterbearbeiten. Es hat keine elementare Stammfunktion. Deine Mission dürfte hier beendet sein - es sei denn, Du hast ausdrücklich den Auftrag, das Ergebnis numerisch zu bestimmen.
Gruß v. Angela
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> > Wovon hängt ab, ob sich die Integrationsgrenzen ändern?
>
> Die ändern sich immer. Nur kannst Du Dir ersparen darüber
> nachzudenken, wenn Du am Ende wieder zurücksubstituierst.
Hallo und: um Himmels Willen!
Es ist i.d.R. völlig einfach, wenn man die vorgegebenen Grenzen ändert, man braucht doch nur einzusetzen in die neue Variable.
Zurückzusubstituieren wäre viel mehr Aufwand.
Wenn man unbestimmte Integrale berechnet, kommt man natürlich um die Rüchsubstitution nicht herum.
Gruß v. Angela
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