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| Aufgabe | | Es sei M={x [mm] \in \IR^3| x_1^2+x_2^2 \leq [/mm] 1, 0 [mm] \leq x_3 \leq [/mm] 1} und [mm] f(x)=(x_1^2x_2+x_1x_3,x_1x_2x_3,x_2^2+x_3^2). [/mm] Berechnen Sie [mm] \integral_{M}{div f(x) d\lambda^3(x)} [/mm] mit Hilfe des Integralssatzes von Gauß. |
Ist M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit? Falls ja, wie finde ich eine Parameterdarstellung, aus der ich den glatten Rand von M bestimmen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm] $M=\{x \in \IR^3| x_1^2+x_2^2 \leq 1, 0 \leq x_3 \leq 1\}$ [/mm] und [mm]f(x)=(x_1^2x_2+x_1x_3,x_1x_2x_3,x_2^2+x_3^2).[/mm]
> Berechnen Sie [mm]\integral_{M}{div f(x) d\lambda^3(x)}[/mm] mit
> Hilfe des Integralssatzes von Gauß.
> Ist M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit? Falls ja,
> wie finde ich eine Parameterdarstellung, aus der ich den
> glatten Rand von M bestimmen kann?
Da es sich um einen Zylinder der Höhe 1 mit Durchmesser 2 handelt, bieten sich Zylinderkoordinanten an. Du musst natürlich Mantel und Deckelflächen getrennt betrachten.
(Alles in allem scheint es mir einfacher, das Integral direkt auszurechnen.)
Viele Grüße
Rainer
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Danke für die Antwort. Leider reicht es mir nicht, das Integral ausrechnen zu können. Mir geht es vielmehr darum, zu verstehen, ob es sich um eine Mannigfaltigkeit handelt und nachzuweisen, dass man den Integralssatz von Gauss anwenden kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für die Antwort. Leider reicht es mir nicht, das
> Integral ausrechnen zu können. Mir geht es vielmehr darum,
> zu verstehen, ob es sich um eine Mannigfaltigkeit handelt
> und nachzuweisen, dass man den Integralssatz von Gauss
> anwenden kann.
M ist differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand. Jede offene Teilmenge ist mit euklidischen Koordinaten auf eine offene Teilmenge des [mm] $\IR^3$ [/mm] diffeomoprh abbildbar. Für den Rand geben dir Zylinderkoordinaten einen lokalen Diffeomorphismus auf einen Halbraum.
Für den Satz von Gauss muss M kompakt sein und glatten Rand haben.
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank! Leider sehe ich noch immer nicht, dass M eine Mannigfaltigkeit ist. Ich verstehe, dass das Innere des Zylinders eine Mannigfaltigkeit ist. Ich verstehe auch, dass die Mantelfläche eine Mannigfaltigkeit ist, da jede offene Umgebung geschnitten mit der Mantelfläche auf einen offenen Kreis abgebildet werden kann. Wenn man die Umgebung eines Punktes der Mantelfläche dagegen mit M schneidet, dann erhält man eine dreidimensionale Menge, die sowohl Punkte aus dem Inneren als auch Punkte der Mantelfläche beinhaltet. Ich weiß nicht, wie man diese Mengen mit einem Diffeomorphismus auf ein Gebiet abbilden kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Sa 17.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank! Leider sehe ich noch immer nicht, dass M eine
> Mannigfaltigkeit ist. Ich verstehe, dass das Innere des
> Zylinders eine Mannigfaltigkeit ist. Ich verstehe auch,
> dass die Mantelfläche eine Mannigfaltigkeit ist, da jede
> offene Umgebung geschnitten mit der Mantelfläche auf einen
> offenen Kreis abgebildet werden kann. Wenn man die Umgebung
> eines Punktes der Mantelfläche dagegen mit M schneidet,
> dann erhält man eine dreidimensionale Menge, die sowohl
> Punkte aus dem Inneren als auch Punkte der Mantelfläche
> beinhaltet. Ich weiß nicht, wie man diese Mengen mit einem
> Diffeomorphismus auf ein Gebiet abbilden kann.
Umgebungen der Randpunkte musst du auf Umgebungen der Randpunkte eines Halbraums abbilden.
Nur für die inneren Punkte muss ein Diffeomorphismus auf den [mm] $\IR^q$ [/mm] existieren. Für die Randpunkte gilt, dass die Einschränkung der Kartenabbildung auf den Rand ein Diffeomorphismus auf den [mm] $\IR^{q-1}$ [/mm] ist.
Schau mal hier oder ![[]](/images/popup.gif) hier.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Sa 17.01.2009 | | Autor: | mathpsycho |
Vielen Dank Rainer!
Mir war nicht bewusst, welchen enormen Unterschied es macht, dass das Gebiet in [mm] \IR_{+} [/mm] und nicht in [mm] \IR [/mm] liegen soll. Erst jetzt sehe ich, dass dadurch Mengen zu Gebieten werden, die bzgl. [mm] \IR [/mm] keine Gebiete sind. Danke!
Viele Grüße, Falk
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